Sottospazio affine generato

Nella geometria in uno spazio affine , lo scafo affine da una parte non vuota , indicato anche come inviluppo affine a , è il più piccolo sottospazio affine di contenimento . $E$ $A$ $A$ $E$ $A$

Definizione

In uno spazio affine, l' intersezione di una famiglia (non vuota ) di sottospazi affini è l' insieme vuoto o un sottospazio affine e lo spazio stesso è un sottospazio, il che giustifica la seguente definizione:

Lascia che sia uno spazio affine. Per ogni parte non vuota di , esiste un più piccolo sottospazio contenente affine : l'intersezione di tutti i sottospazi contenenti affini . $E$ $A$ $E$ $E$ $A$ $E$ $A$

Lo chiamiamo sottospazio affine generato da , e spesso lo denotiamo o , o ancora . $A$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aff} (A)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (A)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} A}$

Proprietà

Siano e siano spazi affini e , due parti non vuote di e una parte non vuota di . $E$ $F$ $A$ $B$ $E$ $VS$ $F$

${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (A)}$ è uguale all'insieme dei baricentri dei punti di . $A$
Se è una mappa affine allora . $f: E \ a F$ ${\ Displaystyle f (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (f (A))}$
${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (B) \ times \ operatorname {aff} (C) = \ operatorname {aff} (B \ times C)}$ (nello spazio affine del prodotto ). $E \ volte F$
$A$ e il suo inviluppo convesso genera lo stesso sottospazio affine.
Per ogni punto di , la direzione di è il sottospazio vettoriale generato (nello spazio vettoriale associato a ) da . $P$ $A$ ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (A)}$ $E$ ${\ displaystyle \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ mid Q \ in A \}}$
${\ displaystyle \ operatorname {aff}}$ è un operatore di chiusura : , e . ${\ Displaystyle A \ subset \ operatorname {aff} (A)}$ ${\ Displaystyle A \ subset B \ Rightarrow \ operatorname {aff} (A) \ subset \ operatorname {aff} (B)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (A)}$

Note e riferimenti

Dany-Jack Mercier, Geometria corso: preparazione per CAPES e l'aggregazione , Publibook università,2005( leggi in linea ) , p. 33.
Daniel Guinin e Bernard Joppin, Algebra and geometry PCSI , Bréal ,2003( leggi in linea ) , p. 256.
(a) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, NJ, Princeton University Press , coll. "Princeton Mathematical Series" ( n . 28),1970( leggi in linea ) , p. 6(limitato al caso ). $E = \ R ^ n$
Mercier 2005 , p. 37.
Mercier 2005 , p. 49.