Tetration
La tetrazione (o esponenziale slick , iper , power tower , super-esponenziazione o hyper4 ) è un " esponenziamento iterato". È il primo iperoperatore dopo l' elevazione a potenza .
La parola portmanteau tetration è stata coniata da Reuben Goodstein sulla base del prefisso tetra- (quattro) e dell'iterazione . La tetrazione viene utilizzata per scrivere grandi numeri. Segue l' addizione , la moltiplicazione e l' elevamento a potenza come mostrato di seguito:
- moltiplicazione
a×b= a+a+⋯+a⏟b termini{\ displaystyle {{a \ times b = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a + a + \ cdots + a}} \ atop b {\ text {terms}}}}
- esponenziazione
ab= a×a×⋯×a⏟b fattori{\ displaystyle {{a ^ {b} = \} \ atop {\}} {\ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a} \ atop b {\ text {fattori}}}}
- tetrazione
ba= aa⋅⋅a⏟b copie di a{\ displaystyle {\ ^ {b} a = \ \ atop {\}} {\ underbrace {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}} \ atop b {\ text {copie da A}}
Ogni volta che b appare la lettera a . La moltiplicazione ( a × b ) può essere vista come ( b-1 ) iterazioni dell'operazione "aggiungi a ", l'elevazione a potenza ( a b ) come ( b-1 ) iterazioni dell'operazione "moltiplica per a " quindi b apparenze di la lettera a . Allo stesso modo, la tetrazione ( b a) può essere pensata come ( b-1 ) iterazioni dell'operazione "elevarsi alla potenza a ".
Si noti che quando si valuta un esponenziazione multi-livello, l'elevamento a potenza viene eseguito prima al livello "più profondo" (in notazione, al livello più alto), cioè da destra verso sinistra. In altre parole:
42=2222=2(2(22))=2(24)=216=65536{\ displaystyle \ ^ {4} 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {\ sinistra (2 ^ {\ sinistra (2 ^ {2} \ destra)} \ destra)} = 2 ^ {\ sinistra (2 ^ {4} \ destra)} = 2 ^ {16} = 65 \, 536}
2222{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}} n ' non è uguale a .
((22)2)2=22×2×2=256{\ displaystyle \! \ left ({\ left (2 ^ {2} \ right)} ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 ^ {2 \ times 2 \ times 2} = 256}
Questa è la regola generale per l'ordine delle operazioni che coinvolgono esponenziazione ripetuta.
Notazioni
Per generalizzare il primo caso sopra (calcolo delle potenze da destra a sinistra) della tetrazione a valori non interi, è necessaria una nuova notazione. Il secondo caso (calcolo da sinistra a destra) può anche essere scritto:, quindi la scrittura della sua forma generale utilizza sempre una normale notazione a esponenziazione.
((22)2)2=22×2×2=223{\ displaystyle \ left (\ left (2 ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 ^ {2 \ times 2 \ times 2} = 2 ^ {2 ^ {3}} }
Le notazioni in cui è possibile notare una tetrazione (tra quelle che consentono livelli di iterazioni ancora più elevati) includono:
- la notazione standard: b a, usata per la prima volta da Hans Maurer; questa notazione è stata resa popolare dal libro di Rudy Rucker , Infinity and the Mind .
- la notazione iterata potenze Knuth : - può essere estesa utilizzando più frecce (o, equivalentemente, una freccia indicizzata).a↑↑b{\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}
- la notazione della freccia concatenata di Conway : - può essere estesa aumentando il numero 2 (equivalente alle estensioni sopra), ma anche, in modo più efficiente, estendendo la catena.a→b→2{\ displaystyle a \ rightarrow b \ rightarrow 2}
- la notazione hyper4: - può essere estesa aumentando il numero 4; questo dà la famiglia degli iper operatori .a(4)b=hyper4(a,b)=iper(a,4,b){\ Displaystyle a ^ {(4)} b = \ operatorname {hyper4} (a, b) = \ operatorname {hyper} (a, 4, b)}
Il caso particolare a = 2 può essere scritto con la funzione di Ackermann :
2↑↑b=A(4,b-3)+3{\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow b = \ nome operatore {A} (4, b-3) +3},
cioè .
A(4,non)=2↑↑(non+3)-3{\ Displaystyle \ operatorname {A} (4, n) = 2 \ uparrow \ uparrow (n + 3) -3}
La freccia su è usata in modo identico al segno di omissione, quindi l'operatore di tetrazione può essere scritto come ^^ in ASCII : a ^^ b.
Definizione formale
Per un numero reale a > 0 e un numero naturale n , definiamo per induzione:
nona=a↑↑non{\ displaystyle ^ {n} a = a \ uparrow \ uparrow n}
0a=a↑↑0=1{\ displaystyle ^ {0} a = a \ uparrow \ uparrow 0 = 1} ;
non+1a=a↑↑(non+1)=aa↑↑non{\ displaystyle ^ {n + 1} a = a \ uparrow \ uparrow (n + 1) = a ^ {a \ uparrow \ uparrow n}}.
Esempi
(Gli esempi scritti con virgola sono approssimativi)
n = n ↑↑ 1 |
n ↑↑ 2 |
n ↑↑ 3 |
n ↑↑ 4
|
---|
1 |
1 |
1 |
1
|
2 |
4 |
16 |
65.536
|
3 |
27 |
7,63 × 10 12 |
103,64×1012{\ displaystyle 10 ^ {3 {,} 64 \ volte 10 ^ {12}}}
|
4 |
256 |
1,34 × 10154 |
108,07×10153{\ displaystyle 10 ^ {8 {,} 07 \ times 10 ^ {153}}}
|
5 |
3 125 |
1,91 × 10 2184 |
101,34×102184{\ displaystyle 10 ^ {1 {,} 34 \ times 10 ^ {2 \, 184}}}
|
6 |
46.656 |
2,70 × 10 36305 |
102,07×1036305{\ displaystyle 10 ^ {2 {,} 07 \ times 10 ^ {36 \, 305}}}
|
7 |
823.543 |
3,76 × 10.695.974 |
103,18×10695974{\ displaystyle 10 ^ {3 {,} 18 \ times 10 ^ {695 \, 974}}}
|
8 |
16 777 216 |
6,01 × 10 15151335 |
105,43×1015151335{\ displaystyle 10 ^ {5 {,} 43 \ times 10 ^ {15 \, 151 \, 335}}}
|
9 |
387 420 489 |
4,28 × 10.369.693.099 |
104,09×10369693009{\ displaystyle 10 ^ {4 {,} 09 \ times 10 ^ {369 \, 693 \, 009}}}
|
10 |
10.000.000.000 |
10 10.000.000.000 |
10101010{\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10}}}}
|
Estensione al valore - 1 del secondo operando
Utilizzando la relazione (dedotta dalla definizione di tetrazione), possiamo definire i valori per per .
non↑↑K=lognon(non↑↑(K+1)){\ Displaystyle n \ uparrow \ uparrow k = \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow (k + 1) \ right)}non↑↑K{\ Displaystyle n \ uparrow \ uparrow k}K∈{-1,0,1}{\ displaystyle k \ in \ {- 1,0,1 \}}
non↑↑1=lognon(non↑↑2)=lognon(nonnon)=nonlognonnon=nonnon↑↑0=lognon(non↑↑1)=lognonnon=1non↑↑-1=lognon(non↑↑0)=lognon1=0{\ displaystyle {\ begin {matrix} n \ uparrow \ uparrow 1 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 2 \ right) & = & \ log _ {n} \ left (n ^ {n} \ right) & = & n \ log _ {n} n & = & n \\ n \ uparrow \ uparrow 0 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 1 \ right) & = & \ log _ {n} n &&& = & 1 \\ n \ uparrow \ uparrow -1 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 0 \ right) & = & \ log _ {n} 1 &&& = & 0 \ end {matrix}}}
Ciò conferma la definizione intuitiva di essere semplicemente n . Tuttavia, non è più possibile definire più valori mediante iterazioni aggiuntive in questo modo, poiché non è definito.
non↑↑1{\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow 1}non↑↑-2=lognon(non↑↑-1)=lognon0{\ Displaystyle n \ uparrow \ uparrow -2 = \ log _ {n} (n \ uparrow \ uparrow -1) = \ log _ {n} 0}
Estensione al valore 0 della base
1↑↑non{\ displaystyle 1 \ uparrow \ uparrow n}può essere definito senza problemi come uguale a 1. Poiché è undefined ( ), la definizione data sopra non può essere utilizzata quando n = 1 e deve rimanere una quantità indefinita.
log1X{\ displaystyle \ log _ {1} x}log1X=logXlog1{\ displaystyle \ log _ {1} x = {\ begin {matrix} {\ frac {\ log x} {\ log 1}} \ end {matrix}}}non↑↑-1=lognon(non↑↑0){\ Displaystyle n \ uparrow \ uparrow {-1} = \ log _ {n} (n \ uparrow \ uparrow 0)}1↑↑-1{\ displaystyle 1 \ uparrow \ uparrow {-1}}
A volte 0 0 è considerato una quantità indefinita. In questo caso, i valori di possono essere definiti dal limite esistente ed è uguale a:
0↑↑K{\ displaystyle 0 \ uparrow \ uparrow k}limX→0X↑↑K{\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k}
limX→0X↑↑K={1 per K pari0 per K dispari{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {for}} k {\ mbox {pair}} \\ 0 & {\ mbox { per}} k {\ mbox {odd}} \ end {case}}}0↑↑K{\ displaystyle 0 \ uparrow \ uparrow k}può essere definito in termini di questo limite ed è coerente con la definizione di .
00=1{\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}
Estensione della tetrazione a valori reali positivi della base
L'estensione di a numeri reali è relativamente semplice e fornisce, per ogni numero intero naturale n , una funzione di superpotenza (il prefisso super è talvolta sostituito da hyper : funzione hyper-power ).
X↑↑b{\ Displaystyle x \ uparrow \ uparrow b}X>0{\ displaystyle x> 0} fnon(X)=X↑↑non{\ Displaystyle \ operatorname {f} _ {n} (x) = x \ uparrow \ uparrow n}
Come indicato in precedenza, per interi positivi n , la funzione tende verso 1 per x tendente verso 0 se n è pari, e verso 0 se n è dispari, mentre per e la funzione è costante, rispettivamente con valore 1 e 0.
non=0{\ displaystyle n = 0}non=-1{\ displaystyle n = -1}
Estensione della tetrazione a basi complesse
Poiché un numero complesso può essere elevato a una potenza complessa utilizzando il ramo maggiore del logaritmo complesso , la tetrazione può essere applicata ai numeri della forma , dove
i è l' unità immaginaria .
a+bio{\ displaystyle a + b \, \ mathrm {i}}
Quindi, calcoliamo, ad esempio, in cui . L'esponenziazione viene eseguita utilizzando il ramo principale del logaritmo complesso , e abbiamo la relazione:
z↑↑K{\ Displaystyle z \ uparrow \ uparrow k}z=io{\ displaystyle z = \ mathrm {i}}
ioa+bio=eioπ2(a+bio)=e-bπ2(cosaπ2+iopeccatoaπ2){\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {a + b \ mathrm {i}} = \ mathrm {e} ^ {{\ mathrm {i} \ pi \ over 2} (a + b \ mathrm {i})} = \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ over 2}} \ left (\ cos {a \ pi \ over 2} + \ mathrm {i} \ sin {a \ pi \ over 2} \ right) }Il che suggerisce una definizione per induzione per quando :
io↑↑(K+1)=a′+b′io{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow (k + 1) = a '+ b' \, \ mathrm {i}}io↑↑K=a+bio{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow k = a + b \, \ mathrm {i}}
a′=e-bπ2cosaπ2{\ displaystyle a '= \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ over 2}} \ cos {a \ pi \ over 2}}
b′=e-bπ2peccatoaπ2{\ displaystyle b '= \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ over 2}} \ sin {a \ pi \ over 2}}
Deduciamo i seguenti valori approssimativi ( è l'elevazione a potenza ). :
io↑z{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow z}ioz{\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {z}}
- io↑↑1=io{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 1 = \ mathrm {i}}
- io↑↑2=io↑(io↑↑1)≈0.2079{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 2 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 1 \ right) \ approx 0 {,} 2079}
- io↑↑3=io↑(io↑↑2)≈0.9472+0.3208io{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 3 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 2 \ right) \ approx 0 {,} 9472 + 0 {,} 3208 \, \ mathrm {io}}
- io↑↑4=io↑(io↑↑3)≈0,0501+0.6021io{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 4 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 3 \ right) \ approx 0 {,} 0501 + 0 {,} 6021 \, \ mathrm {io}}
- io↑↑5=io↑(io↑↑4)≈0.3872+0.0305io{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 5 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 4 \ right) \ approx 0 {,} 3872 + 0 {,} 0305 \, \ mathrm {io}}
- io↑↑6=io↑(io↑↑5)≈0.7823+0.5446io{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 6 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 5 \ right) \ approx 0 {,} 7823 + 0 {,} 5446 \, \ mathrm {io}}
- io↑↑7=io↑(io↑↑6)≈0.1426+0.4005io{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 7 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 6 \ right) \ approx 0 {,} 1426 + 0 {,} 4005 \, \ mathrm {io}}
- io↑↑8=io↑(io↑↑7)≈0.5198+0.1184io{\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 8 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 7 \ right) \ approx 0 {,} 5198 + 0 {,} 1184 \, \ mathrm {io}}
- io↑↑9=io↑(io↑↑8)≈0.5686+0.6051io{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 9 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 8 \ right) \ approx 0 {,} 5686 + 0 {,} 6051 \, \ mathrm {io}}
La risoluzione del rapporto porta alle relazioni attese e .
io↑↑(K+1)=io↑(io↑↑K){\ Displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow (k + 1) = \ mathrm {i} \ uparrow (\ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow k)}io↑↑0=1{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 0 = 1}io↑↑-1=0{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow -1 = 0}
Nel piano complesso , la sequenza converge in una spirale ( vedi sotto ). Tali sequenze di tetrazione sono state studiate sin dai tempi di Eulero ma sono poco comprese a causa del loro comportamento caotico. La ricerca più pubblicata si è storicamente concentrata sulla convergenza della funzione power tower. La ricerca attuale ha tratto grandi vantaggi dal progresso di potenti stazioni di calcolo con supporti software nella matematica simbolica e frattale. La maggior parte di ciò che si sa sulla tetrazione deriva dalla conoscenza generale di dinamiche complesse e da ricerche specifiche sugli strati esponenziali.
io↑↑non{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow n}
Estensione della tetrazione a valori reali> - 2 del secondo operando
Ad oggi, non esiste una soluzione comunemente accettata per il problema generale di estendere la tetrazione a numeri reali e complessi, sebbene questo sia un campo di ricerca attivo.
Considera il problema di trovare una funzione superesponenziale o una funzione iperesponenziale
f(X)=a↑↑X{\ Displaystyle \ operatorname {f} (x) = a \ uparrow \ uparrow x}
che è un'estensione al reale di quanto definito in precedenza, e che soddisfa:
X>-2{\ displaystyle x> -2}
-
a↑↑(X+1)=a(a↑↑X){\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow (x + 1) = a ^ {\ left (a \ uparrow \ uparrow x \ right)}} ;
-
f sta aumentando (per );a>1{\ displaystyle a> 1}
-
f è continuo.
Quando è definito su un intervallo di lunghezza unitaria, possiamo definire la funzione nel suo insieme per ogni cosa , per induzione.
X↦a↑↑X{\ displaystyle x \ mapsto a \ uparrow \ uparrow x}X>-2{\ displaystyle x> -2}
Una semplice soluzione è data dall'interpolazione affine tra - 1 e 0:
a↑↑X=X+1{\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = x + 1}per ,
-1⩽X⩽0{\ displaystyle -1 \ leqslant x \ leqslant 0}Perciò :
a↑↑X=loga(X+1){\ displaystyle \, \! a \ uparrow \ uparrow x = \ log _ {a} {(x + 1)}} per
-2<X⩽-1{\ displaystyle -2 <x \ leqslant -1}
a↑↑X=aX{\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {x}}per ,
0⩽X⩽1{\ displaystyle 0 \ leqslant x \ leqslant 1}
a↑↑X=aa(X-1){\ displaystyle \, \! a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {a ^ {(x-1)}}} per
1<X<2{\ displaystyle 1 <x <2}
a↑↑X=aa↑↑(X-1){\ displaystyle \, \! a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {a \ uparrow \ uparrow {(x-1)}}}per , ecc.
X>2{\ displaystyle x> 2}
Tuttavia, se a ≠ e, la funzione così definita è differenziabile solo a tratti : a valori interi di x, la derivata viene moltiplicata per tra due intervalli:
lna{\ displaystyle \ ln a}
10↑↑0,99=9,77{\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 0 {,} 99 = 9 {,} 77},
10↑↑1=10{\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 1 = 10},
10↑↑1,01=10,55{\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 1 {,} 01 = 10 {,} 55}.
Altre funzioni più complicate possono essere più regolari o soddisfare proprietà aggiuntive (funzione analitica o funzione che può essere estesa in una funzione olomorfa, ecc .).
Una funzione super esponenziale cresce più velocemente di una doppia funzione esponenziale .
Ad esempio, se a = 10 :
- f(-1)=0{\ Displaystyle \ operatorname {f} (-1) = 0}
- f(0)=1{\ Displaystyle \ operatorname {f} (0) = 1}
- f(0,3)≈2{\ displaystyle \ operatorname {f} (0 {,} 3) \ circa 2}
- f(1)=10{\ Displaystyle \ operatorname {f} (1) = 10}
- f(1,3)≈102{\ Displaystyle \ operatorname {f} (1 {,} 3) \ circa 10 ^ {2}}
- f(2)=1010{\ Displaystyle \ operatorname {f} (2) = 10 ^ {10}}
-
f(2,3)≈10100{\ Displaystyle \ operatorname {f} (2 {,} 3) \ circa 10 ^ {100}}( googol )
- f(3)=101010{\ Displaystyle \ operatorname {f} (3) = 10 ^ {10 ^ {10}}}
-
f(3,3)≈1010100{\ Displaystyle \ operatorname {f} (3 {,} 3) \ circa 10 ^ {10 ^ {100}}}( googolplex )
Quando si definisce per tutti a, un altro requisito può essere l' aumento con a.
a↑↑X{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x}a↑↑X{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x}
Operazioni inverse della tetrazione: super-logaritmi
Le funzioni reciproche della tetrazione relativa alla base o relativa al secondo operando sono chiamate rispettivamente super-radici o iper-radici e super-logaritmo o iper-logaritmo .
La biiezione inversa della funzione superesponenziale è definita, se a > 1, per tutti i numeri reali, compresi i numeri negativi.
f(X)=a↑↑X{\ Displaystyle \ operatorname {f} (x) = a \ uparrow \ uparrow x}
La funzione super-logaritmo controlla:
Sloga{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a}}
Sloga(a↑↑X)=Sloga(Xa)=X{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} (a \ uparrow \ uparrow x) = \ mathrm {slog} _ {a} (^ {x} a) = x}
a↑↑(SlogaX)=SlogaXa=X{\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow (\ mathrm {slog} _ {a} x) = ^ {\ mathrm {slog} _ {a} x} a = x}
Sloga1=0{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} 1 = 0}
Slogaa=1{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} a = 1}
Sloga0=-1{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} 0 = -1}
SlogaaX=1+SlogaX{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x} = 1 + \ mathrm {slog} _ {a} x}
SlogaX=-1+SlogaaX{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x}}
SlogaX=1+SlogalogaX{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = 1 + \ mathrm {slog} _ {a} \ log _ {a} x \,}se x > 0
SlogaX>-2{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x> -2}
Nel paragrafo precedente abbiamo definito:
a↑↑X=X+1{\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = x + 1}per ,
-1<X<0{\ displaystyle -1 <x <0}
a↑↑X=aX{\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {x}}per ,
0<X<1{\ displaystyle 0 <x <1}
Pertanto (con a > 1)
SlogaX=logaX,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = \ log _ {a} x, \,}se (interpoliamo con una funzione logaritmo tra 1 e a ):
1<X⩽a{\ displaystyle \, 1 <x \ leqslant a}
SlogaX=-1+X,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + x, \,}se (interpoliamo per una funzione affine tra 0 e 1):
0<X⩽1{\ displaystyle \, 0 <x \ leqslant 1}
SlogaX=-1+SlogaaX=-2+aX,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x} = - 2 + a ^ {x}, \,}si .
X⩽0{\ displaystyle x \ leqslant 0}
Esempi:
-
Slog103=log103≈0.477{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 3 = \ log _ {10} 3 \ circa 0 {,} 477} ;
-
Slog1010-3=-1+10-3=-0.999{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {- 3} = - 1 + 10 ^ {- 3} = - 0 {,} 999} ;
-
Slog10(-3)=-1+Slog1010-3=-1+(-0.999)=-1.999{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} (- 3) = - 1+ \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {- 3} = - 1 + (- 0 {,} 999) = - 1 {,} 999} ;
-
Slog10106×1023=1+Slog10(6×1023)≈2+Slog1023.778≈3+Slog101.376=3+log101.376≈3.139{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {6 \ times 10 ^ {23}} = 1+ \ mathrm {slog} _ {10} (6 \ times 10 ^ {23}) \ circa 2+ \ mathrm {slog} _ {10} 23 {,} 778 \ approx 3+ \ mathrm {slog} _ {10} 1 {,} 376 = 3 + \ log _ {10} 1 {,} 376 \ approx 3 { ,} 139}.
Torri di potenze infinitamente elevate
La sequenza converge a 2 . La tendenza verso 2 può essere vista valutando una piccola torre finita:
2↑↑non=2222...{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ uparrow \ uparrow n = {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {\ ;. ^ {\ ;. ^ {\;.}}}}}}}
222221,41≈22221,63≈2221,76≈221,84≈21,89≈1,93{\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 { ,} 41}}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 63}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 76}}} \ approx {\ sqrt {2} } ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 84}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 89} \ approx 1 {,} 93}.
In generale, la torre dei poteri converge se e solo se .
(nonX){\ displaystyle \ sinistra (^ {n} x \ destra)}e-e≤X≤e1/e{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {e}} \ leq x \ leq \ mathrm {e} ^ {1 / \ mathrm {e}}}
Per ogni reale r con , se , allora il limite di è r .
e-1≤r≤e{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- 1} \ leq r \ leq \ mathrm {e}}X=r1/r{\ displaystyle x = r ^ {1 / r}}∞X=XXX..{\ displaystyle ^ {\ infty} x = x ^ {x ^ {x ^ {..}}}}(nonX){\ displaystyle \ sinistra (^ {n} x \ destra)}
La funzione può essere estesa ai numeri complessi z con la definizione:
X↦r=∞X{\ displaystyle x \ mapsto r = {^ {\ infty} x}}
∞z=-W0(-Logz)Logz{\ displaystyle ^ {\ infty} z = - {\ frac {\ mathrm {W} _ {0} (- \ operatorname {Log} z)} {\ operatorname {Log} z}}}per
z ≠ 1 ,
che è il ramo principale della funzione W di Lambert e Log è quello del logaritmo complesso .
W0{\ displaystyle \ mathrm {W} _ {0}}
Per esempio :
∞io=2ioπW0(-πio2){\ displaystyle ^ {\ infty} \ mathrm {i} = {\ frac {2 \ mathrm {i}} {\ pi}} \; W_ {0} \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i }} {2}} \ right)} ≈ 0,4383 0,3606 + i (suite
A077589 e
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Note e riferimenti
(
fr ) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Tetration " ( vedi la lista degli autori ) .
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Vedi E489 e i suoi riferimenti ( IN Baker e PJ Rippon 1984 e 1985, Knoebel 1981 , Rippon 1983).
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Vedi anche
Articolo correlato
Funzione di Ackermann
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link esterno
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<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">