serie Lambert

In matematica , una serie di Lambert , chiamata in onore del matematico Jean-Henri Lambert , è una serie di generatori che assume la forma

S(q)=Σnon=1∞anonqnon1-qnon{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}.

Si può riassumere formalmente espandendo il denominatore:

S(q)=Σnon=1∞anonΣK=1∞qnonK=Σm=1∞bmqm{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} q ^ {nk} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} b_ {m} q ^ {m}}

dove i coefficienti della nuova serie sono dati dalla convoluzione di Dirichlet di ( a n ) con funzione costante 1 ( n ) = 1  :

bm=(a*1)(m)=Σnon|manon{\ displaystyle b_ {m} = (a * {\ mathbf {1}}) (m) = \ sum _ {n \ mid m} a_ {n}}.

Esempi

La serie di Lambert di alcune funzioni moltiplicative è facilmente calcolabile; per esempio :

• la serie di Lambert della funzione di Möbius μ è la serie del generatore ordinario di μ ✻ 1 = δ 1  : Σnon=1∞μ(non)qnon1-qnon=q{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q} ;
• quella di 1 è la serie ordinaria della funzione 1 ✻ 1 = σ 0 = d ( numero di divisori ): Σnon=1∞qnon1-qnon=Σnon=1∞qnonσ0(non){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {0} (n)} ;
• più in generale, quello della funzione di potenza Id un ( n ) = n un (dove un è un numero complesso ) è serie ordinarie della funzione Id un ✻ 1 = σ un ( somma delle un -esimo poteri dei divisori ) : Σnon=1∞nonaqnon1-qnon=Σnon=1∞qnonσa(non){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {a} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {a} (n)} ;
• analogamente, quella della funzione totient Jordan è la consueta serie della funzione potenza: . In particolare, Σnon=1∞JK(non)qnon1-qnon=Σm=1∞mKqm{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {J_ {k} (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} m ^ {k} q ^ {m}}la serie di Lambert dell'indicatrice di Eulero φ = J 1 è:Σnon=1∞φ(non)qnon1-qnon=Σm=1∞mqm=q(1-q)2{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} mq ^ {m} = {\ frac {q} {(1-q) ^ {2}}}}

Serie Lambert in cui un n sono funzioni trigonometriche , per esempio, ha n = sin (2 nx ) può essere valutata utilizzando varie combinazioni di derivati logaritmiche di funzioni theta di Jacobi.

Vedi anche

Articoli Correlati

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• La funzione zeta di Riemann e i suoi valori in punti interi
• Un uso della serie di Lambert per dimostrare un teorema di Jacobi

Bibliografia

(la) Leonhard Euler , “  Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae  ” , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae , vol.  3,1753, pag.  86-108 ( leggi in linea )

Credito d'autore

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Lambert series  " ( vedi elenco degli autori ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">