In matematica , il simbolo Pochhammer è una funzione speciale utilizzata in calcolo combinatorio e in teoria delle funzioni ipergeometriche . Questa notazione è stata introdotta da Leo Pochhammer . È usato per denotare il fattoriale crescente o il fattoriale decrescente.
Il simbolo che rappresenta questa funzione è utilizzato in diverse varianti:
(tra gli altri in combinatoria) o (in analisi) (altri usi)Nella teoria delle funzioni speciali , indichiamo con il fattoriale crescente
,mentre lo stesso simbolo è usato in calcolo combinatorio per rappresentare il fattoriale decrescente
.Per evitare confusione, usiamo spesso - e sarà fatto qui - il simbolo per il fattoriale crescente e per il fattoriale decrescente.
Infine, ci sono altre due notazioni introdotte da Ronald L. Graham , Donald Knuth e Oren Patashnik nel loro libro Concrete Mathematics , notazioni che risalgono rispettivamente ad A. Capelli (1893) e L. Toscano (1939). Loro scrivono
,per il fattoriale crescente, e
per il fattoriale decrescente.
Esempi (con le notazioni usate in calcolo combinatorio):
Notiamo
il fattoriale crescente e
il fattoriale decrescente.
Se e sono numeri interi, abbiamo:
per il fattoriale crescente, e per il fattoriale decrescente.Il prodotto vuoto o è definito uguale a 1 in entrambi i casi. Possiamo estendere la definizione a valori non interi di n per
per il fattoriale crescente, per il fattoriale decrescente.Secondo le proprietà della funzione Gamma , questa definizione è coerente con quella dei valori interi di n .
I fattoriali crescenti e decrescenti sono legati ai coefficienti binomiali dalle seguenti relazioni:
Pertanto, molte identità su coefficienti binomiali portano a fattoriali crescenti o decrescenti.
Un fattoriale crescente è espresso come un fattoriale decrescente dall'altra estremità:
Questo è un caso speciale della relazione:
tra fattoriali crescenti e decrescenti.
Si osservi che i fattoriali crescenti e decrescenti sono definiti in qualsiasi anello , quindi l'elemento può essere ad esempio un numero complesso, un polinomio o qualsiasi funzione con valore complesso.
Il fattoriale decrescente appare in una formula che consente di rappresentare un polinomio utilizzando l' operatore differenza , che è simile alla formula di Taylor in analisi . In questa formula, il fattoriale decrescente gioca il ruolo, nel calcolo delle differenze finite , del monomio nel calcolo differenziale. Si noti ad esempio la somiglianza tra
e di
dove denota l'operatore derivativo dei polinomi . Lo studio delle analogie di questo tipo è noto come il calcolo ombrale . Una teoria generale che copre tali relazioni è data dalla teoria delle sequenze di Sheffer . I fattoriali crescenti e decrescenti sono tali sequenze e verificano:
Poiché i fattoriali decrescenti formano una base dell'anello dei polinomi, possiamo esprimere il prodotto di due fattoriali come una combinazione lineare di fattoriali. La formula è:
I coefficienti di sono chiamati coefficienti di connessione . Hanno un'interpretazione combinatoria: è il numero di modi per unire elementi presi in un insieme di elementi ed elementi presi in un insieme di elementi.
C'è un equivalente del simbolo nelle Pochhammer q -serie : il q -symbol Pochhammer , definita come segue.
con
.
(it) Eric W. Weisstein , " Pochhammer Symbol " , su MathWorld
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