Stabilizzazione del gradiente gravitazionale

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La stabilizzazione per gradiente di gravità (in inglese : Stabilizzazione del gradiente di gravità ) è un metodo per stabilizzare i satelliti artificiali o gli oggetti spaziali in un orientamento fisso utilizzando solo la distribuzione del peso e il campo gravitazionale del corpo in orbita.

Il vantaggio principale rispetto all'utilizzo della stabilizzazione attiva con propulsori, giroscopi o ruote di reazione è il basso utilizzo di energia e risorse.

L'idea è quella di utilizzare il terrestre campo gravitazionale e forza di marea per mantenere la navicella allineato con l'orientamento desiderato. La gravità terrestre diminuisce secondo la legge dell'inverso del quadrato e, estendendo l'asse lungo perpendicolare all'orbita, la parte "inferiore" della struttura orbitante sarà più attratta dalla Terra. L'effetto è che il satellite tenderà ad allineare verticalmente il suo asse di minimo momento di inerzia .

Un semplice modello esplicativo

È possibile descrivere l'effetto di un gradiente di gravità sul comportamento di un satellite utilizzando ipotesi semplificative:

il satellite considerato ha la forma di un manubrio rigido di lunghezza 2 l , le due estremità hanno la stessa massa m , e la massa della barra che collega le due estremità è considerata trascurabile;
il movimento del satellite è di tipo kepleriano indisturbato, risultando in un piano di movimento di movimento medio n ;
analogamente si considerano solo le variazioni di assetto del satellite in questo stesso piano orbitale , il che porta ad avere un solo grado di libertà , rilevato , rappresentativo del movimento di beccheggio del satellite; $\ theta$
il movimento è studiato in un sistema di riferimento geocentrico, il sistema di riferimento ortogonale associato rotante con il satellite. L'asse del sistema di riferimento è scelto in modo da collegare in ogni momento il centro della Terra al centro di massa del satellite, e l'asse è ortogonale a , contenuto nel piano dell'orbita, diretto secondo il movimento di il satellite. L'asse è ortogonale al piano dell'orbita; ${\ displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3} \}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}$ ${\ vec {e_ {3}}}$
viene trascurato il movimento assiale del satellite, cioè lungo l'asse , la distanza tra il centro della Terra O e il centro di massa C del satellite è costante. Di conseguenza, l'orbita ha un raggio circolare . ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}$ ${\ displaystyle || {\ vec {OC}} || = R}$

Un gradiente di gravità che rappresenta una differenza di accelerazione dovuta alla gravità tra due punti del satellite, un'approssimazione all'ordine di due dell'accelerazione in un punto M del satellite viene ricercata dalla legge di gravitazione espressa nel punto M :

${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {M} = - \ mu \, {\ frac {\ vec {OM}} {|| {\ vec {OM}} || ^ {3}}} = - \ mu \, {\ frac {{\ vec {OC}} + {\ vec {CM}}} {|| {\ vec {OC}} + {\ vec {CM}} || ^ {3}} }}$

con la costante gravitazionale geocentrica . Le distanze tra due punti del satellite essendo piccole rispetto alle distanze dal centro della Terra, si può ottenere uno sviluppo limitato al primo ordine del denominatore: $\ mu$

${\ displaystyle {\ frac {1} {|| {\ vec {OC}} + {\ vec {CM}} || ^ {3}}} \ simeq {\ frac {1} {R ^ {3}} } (1-3 {\ frac {{\ vec {OC}} \ cdot {\ vec {CM}}} {R ^ {2}}})}$

Ciò fornisce un'approssimazione a due ordini per l'accelerazione in M :

${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {M} \ simeq - \ mu {\ frac {{\ vec {OC}} + {\ vec {CM}}} {R ^ {3}}} (1 -3 {\ frac {{\ vec {OC}} \ cdot {\ vec {CM}}} {R ^ {2}}})}$

La dinamica del passo del satellite è determinata dal momento della forza gravitazionale applicata a ciascun componente e del satellite, rispetto al baricentro C : $M_ {1}$ $M_2$

${\ displaystyle {\ cal {\ vec {M}}} _ {i} = {\ vec {CM_ {i}}} \ wedge m \, {\ vec {\ gamma}} _ {M_ {i}} = - \ mu \, m \, {\ frac {{\ vec {CM_ {i}}} \ wedge {\ vec {OC}}} {R ^ {3}}} (1-3 {\ frac {{\ vec {OC}} \ cdot {\ vec {CM_ {i}}}} {R ^ {2}}})}$

Quando il satellite ha un angolo di beccheggio , le due componenti hanno per coordinate , e , che, con , dà la seguente espressione per la proiezione dei due momenti gravitazionali ( i = 1, 2 ) sull'asse ortogonale al piano dell'orbita : $\ theta$ ${\ displaystyle {\ vec {CM_ {1}}} = {\ begin {pmatrix} l \, \ sin \ theta \\ - l \, \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {CM_ {2}}} = - {\ vec {CM_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {OC}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ R \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ cal {M}} _ {i} = \ mp \ mu \, m \, {\ frac {l \, \ sin \ theta} {R ^ {2}}} \, (1 \ pm 3 {\ frac {l \, \ cos \ theta} {R}})}$

La centrale momento di inerzia dell'essere , l'equazione della dinamica di rotazione attorno al centro di massa e nel piano orbitale è scritto: ${\ displaystyle 2 \, m \, l ^ {2}}$

${\ displaystyle 2 \, m \, l ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} = {\ cal {M}} _ {1} + {\ cal {M}} _ {2}}$

o ancora:

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = - 3 {\ frac {\ mu} {R ^ {3}}} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta}$

in cui compare il moto medio n , dovuto alla terza legge di Keplero : ${\ displaystyle n ^ {2} = {\ frac {\ mu} {R ^ {3}}}}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + 3n ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta = 0}$

Questa equazione differenziale descrive un movimento del pendolo chiamato movimento di librazione . Inoltre, il valore corrisponde a un punto di equilibrio. Piccoli movimenti attorno a questo punto di equilibrio possono essere studiati approssimando e , il che porta all'equazione di un oscillatore lineare con un grado di libertà non smorzato : $\ theta = 0$ ${\ displaystyle \ cos \ theta \ simeq 1}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ simeq \ theta}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + 3n ^ {2} \, \ theta = 0}$

la frequenza di librazione essendo correlata al movimento medio dalla relazione . A causa della mancanza di smorzamento, il punto di equilibrio ed è marginalmente stabile. Il gradiente di gravità è quindi di per sé insufficiente per stabilizzare completamente l'assetto del satellite. Qualsiasi disturbo provoca la comparsa di un'oscillazione armonica che si mantiene per un tempo molto lungo. La stabilizzazione del gradiente di densità è quindi finalmente ottenuta introducendo meccanismi di smorzamento passivo nella struttura del satellite, ad esempio mediante collegamenti elastici tra i vari componenti del satellite. ${\ displaystyle \ omega _ {lib} = {\ sqrt {3}} \, n}$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}$

Note e riferimenti

Robert Guiziou, " Attitude and Orbit Control System " (accesso 2 febbraio 2020 ) .

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Stabilizzazione del gradiente di gravità " ( vedere l'elenco degli autori ) .