Rete reciproca
Nella cristallografia , il reticolo reciproco di un reticolo di Bravais è l'insieme di vettori come:
K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}
eioK→⋅R→=1{\ displaystyle e ^ {i {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {R}}} = 1}per tutti i vettori di posizione del reticolo di Bravais. Questa rete reciproca è essa stessa una rete Bravais e la sua rete reciproca è la rete Bravais iniziale.
R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}
Maglia della rete reciproca
Un cristallo può essere descritto come una rete ai cui nodi ci sono modelli: atomo , ione , molecola .
Se si chiamano i vettori che definiscono la cella elementare , questi vettori definiscono una base di spazio. Possiamo definire una base reciproca da
verificare(e1→,e2→,e3→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})}(e1∗→,e2∗→,e3∗→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})}
eio→⋅ej∗→=δioj={1,Se io=j0Se io≠j{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} = \ delta _ {ij} = {\ begin {cases} 1, & {\ text { si}} i = j \\ 0 & {\ text {si}} i \ neq j \ end {case}}}Che danno:
e1∗→=1Ve2→∧e3→,{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}} ,}e2∗→=1Ve3→∧e1→,{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}} ,}e3∗→=1Ve1→∧e2→,{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {1}}} \ wedge {\ vec {e_ {2}}} ,}dove è il volume della maglia della rete diretta (calcolato utilizzando il prodotto misto dei vettori della maglia):
V{\ displaystyle V}
V=e1→⋅(e2→∧e3→)=e2→⋅(e3→∧e1→)=e3→⋅(e1→∧e2→).{\ displaystyle V = {\ vec {e_ {1}}} \ cdot ({\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}}) = {\ vec {e_ {2} }} \ cdot ({\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}}) = {\ vec {e_ {3}}} \ cdot ({\ vec {e_ {1} }} \ wedge {\ vec {e_ {2}}}).}I punti con coordinate intere nel sistema di coordinate formano una rete chiamata rete reciproca .
(O,e1∗→,e2∗→,e3∗→){\ displaystyle (O, {\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} )}
Applicazione
Lo studio dei cristalli viene generalmente effettuato per diffrazione di radiazioni aventi lunghezza d' onda dell'ordine della distanza interatomica. Dal pattern di diffrazione ottenuto possiamo determinare la forma del reticolo, e quindi la struttura del cristallo .
Se chiamiamo:
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K→{\ displaystyle {\ vec {k}}} il vettore d'onda della radiazione incidente;
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K′→{\ displaystyle {\ vec {k '}}}il vettore delle onde sparse in una data direzione;
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K→{\ displaystyle {\ vec {K}}} il vettore di diffusione (o vettore di diffrazione) definito da K→=K′→-K→{\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}}}
quindi la condizione di diffrazione su un singolo cristallo è data dal teorema di Bloch :
c'è diffrazione se è un vettore del reticolo reciproco.
K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}
Esempi di reti reciproche
Per trovare la rete reciproca dobbiamo considerare la maglia primitiva. D'altra parte, si utilizzano reti non primitive, come il cubico centrato (2 nodi per mesh) e il cubico centrato sulla faccia (4 nodi per mesh).
Rete (parametro)
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Rete reciproca (parametro)
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Prima zona Brillouin
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cubo (a){\ displaystyle (a)}
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cubo (2π/a){\ displaystyle (2 \ pi / a)}
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cubo
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centrato cubico (a){\ displaystyle (a)}
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facce cubiche centrate (4π/a){\ displaystyle (4 \ pi / a)}
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ottaedro ottuso
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facce cubiche centrate (a){\ displaystyle (a)}
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centrato cubico (4π/a){\ displaystyle (4 \ pi / a)}
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dodecaedro rombico
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Qui abbiamo posato a∗→⋅a→=2π.{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}} \ cdot {\ vec {a}} = 2 \ pi.}
Note e riferimenti
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Ci sono due modi per definire il vettore d'onda: o la sua norma è , allora abbiamo le formule date; o la sua norma è e quindi abbiamo:
1λ{\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda}}}2πλ{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}eio→⋅ej∗→=2πδioj{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} = 2 \ pi \ delta _ {ij}}
e
em∗→=2πVenon→∧ep→{\ displaystyle {\ vec {e_ {m} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {e_ {n}}} \ wedge {\ vec {e_ {p} }}}
dove ( m , n , p ) è una permutazione circolare di (1, 2, 3).
Vedi anche
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