Proprietà metriche di linee e piani
Nella geometria euclidea , cioè nel piano e nello spazio provvisti di una distanza e di un prodotto scalare , le linee ed i piani hanno proprietà metriche che permettono di caratterizzarli grazie ad un punto e un vettore , detto normale . Possiamo anche calcolare la distanza che li separa da un dato punto o calcolare la distanza che separa due linee o due piani. Possiamo anche calcolare l' angolo formato da due linee o due piani.
In questo articolo, abbiamo fornito al piano o allo spazio un sistema di coordinate ortonormali in cui sono espresse tutte le coordinate. Ogni linea del piano y ha un'equazione del tipo ux + vy + h = 0 dove ( u , v ) è diverso da (0, 0) e ogni piano dello spazio ha un'equazione della forma ux + vy + wz + h = 0 dove ( u , v , w ) è diverso da (0, 0, 0).
La linea nel piano euclideo
Linea, pendenza e vettore di direzione
Se la linea ( D ) dell'equazione ux + vy + h = 0 non è parallela all'asse y , quindi se v non è zero, allora ha un'equazione nella forma
y=aX+b{\ Displaystyle y = ax + b}con
a=-uv,b=-hv{\ displaystyle a = - {\ frac {u} {v}}, \, b = - {\ frac {h} {v}}}La pendenza di una linea è la vera a .
Se chiamiamo α l' angolo tra l'asse x e la linea ( D ), α può essere dedotto da:
a=abbronzatura(α)⇔α=arctan(a).{\ Displaystyle a = \ tan (\ alpha) \ Leftrightarrow \ alpha = \ arctan (a).}Il vettore è un vettore di direzione di ( D ), Il vettore è un altro vettore di direzione.
d→(-v,u){\ displaystyle {\ vec {d}} (- v, u)}d→′(1,a){\ displaystyle {\ vec {d}} '(1, a)}
Vettore normale a una linea
Sia un punto sulla retta ( D ) la cui equazione in un sistema di coordinate ortonormali è data da:
M(X,y){\ displaystyle M (x, y)}
(1)uX+vy+h=0{\ displaystyle (1) \ qquad ux + vy + h = 0}
e un punto specifico di ( D ), abbiamo:
M0(X0,y0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}
(2)uX0+vy0+h=0{\ displaystyle (2) \ qquad ux_ {0} + vy_ {0} + h = 0}
Sottraendo (2) da (1) otteniamo:
u(X-X0)+v(y-y0)=0{\ displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) = 0}
Notando il vettore di coordinate ( u , v ) , esprimiamo (1) come segue:
NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NON→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
La retta di equazione ux + vy + h = 0 è quindi ortogonale al vettore . Il vettore è chiamato vettore normale destro ( D ).
NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
Se la linea ( D ) non è parallela all'asse y , può essere data da un'equazione del tipo:
y=aX+b{\ Displaystyle y = ax + b}Il vettore è un vettore normale a ( D ).
NON→(-a,1){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (- a, 1)}
Linea passante per un punto e ortogonale a un dato vettore diverso da zero
Sia un punto e un vettore diverso da zero. Il punto M appartiene alla linea ( D ), passante ed ortogonale , se e solo se:
M(X,y){\ displaystyle M (x, y)}NON→(u,v){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v)}M0(X0,y0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NON→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
La linea D , passante e ortogonale a , ha quindi la seguente equazione:
M0(X0,y0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
u(X-X0)+v(y-y0)=0{\ displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) = 0 \,}
Distanza algebrica da un punto a una linea
Sia H il punto proiettato da su D , che è quindi tale da essere ortogonale a ( D ).
M(X,y){\ displaystyle M (x, y)}HM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {HM}}}
La retta perpendicolare a D e passante per M essendo orientata nella direzione del vettore , dimostriamo che la distanza algebrica tra M e ( D ) è data da:
NON→(u,v){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v)}
da(H,M)=uX+vy+hu2+v2{\ displaystyle d _ {\ mathrm {a}} (H, M) = {\ frac {ux + vy + h} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}}}In valore finale:
‖HM→‖=|uX+vy+h|u2+v2{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {HM}} \ | = {\ frac {| ux + vy + h |} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}}}
Equazione normale di una retta
Nel sistema di coordinate , denotiamo un vettore unitario normale a destra ( D ), orientato da O a ( D ), il valore φ quindi rappresenta l'angolo . Notiamo anche la distanza tra l'origine O del sistema di coordinate e la linea D.
(O,io→,j→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}NON→(cosφ,peccatoφ){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi)}(io→,NON→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {\ mathrm {N}}})}p{\ displaystyle p}
L'equazione (1) è scritta:
Xcosφ+ypeccatoφ-p=0{\ Displaystyle x \ cos \ varphi + y \ sin \ varphi -p = 0}
Angoli di due linee
Siano D e D ' due linee di equazioni
(D):uX+vy+h=0{\ displaystyle (D): ux + vy + h = 0 \,}
(D′):u′X+v′y+h′=0{\ displaystyle (D '): u'x + v'y + h' = 0 \,}
L'angolo formato dalle due linee è noto dalla sua tangente:
abbronzatura(D,D′)=abbronzatura(NON→,NON′→)=uv′-u′vuu′+vv′{\ Displaystyle \ tan (D, D ') = \ tan ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}'}}) = {\ frac {uv'-u ' v} {uu '+ vv'}}}
Intersezione di due linee
Siano le rette ( D 1 ) e ( D 2 ) le rispettive equazioni cartesiane:
u1X+v1y+h1=0,u2X+v2y+h2=0{\ displaystyle u_ {1} x + v_ {1} y + h_ {1} = 0, \ quad u_ {2} x + v_ {2} y + h_ {2} = 0 \,}allora :
- se : le linee sono confuse;u2u1=v2v1=h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {h_ {2}} {h_ {1 }}}}
- se : le rette sono strettamente parallele;u2u1=v2v1≠h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ neq {\ frac {h_ {2}} {h_ { 1}}}}
- se : le rette sono secanti e le coordinate del punto di intersezione sono una soluzione del sistema formato da (1) e (2).u2u1≠v2v1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} \ neq {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}}
Trave definita da due linee rette
Il raggio è l'insieme di linee di equazione:
αD1+βD2=0{\ displaystyle \ alpha D_ {1} + \ beta D_ {2} = 0}Posando ;
λ=βα{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ beta} {\ alpha}}}
D1+λD2=0{\ displaystyle D_ {1} + \ lambda D_ {2} = 0}.
Abbiamo quindi tre casi:
- se D 1 e D 2 si intersecano in un unico punto A, il fascio è tutte rette passanti A .D1+λD2=0{\ displaystyle D_ {1} + \ lambda D_ {2} = 0}
- se D 1 e D 2 sono strettamente parallele, il raggio è l'insieme di rette strettamente parallele a D 1 .D1+λD2=0{\ displaystyle D_ {1} + \ lambda D_ {2} = 0}
Condizioni affinché tre linee distinte siano simultanee o parallele
Le linee di equazioni:
D1:u1X+v1y+h1=0{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1}: u_ {1} x + v_ {1} y + h_ {1} = 0 \,},
D2:u2X+v2y+h2=0{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {2}: u_ {2} x + v_ {2} y + h_ {2} = 0 \,}, e
D3:u3X+v3y+h3=0{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {3}: u_ {3} x + v_ {3} y + h_ {3} = 0 \,}sono concorrenti o paralleli se:
|u1v1h1u2v2h2u3v3h3|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} & h_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} & h_ {2} \\ u_ {3} & v_ {3} & h_ {3} \ end {vmatrix}} = 0}
La linea retta nello spazio euclideo
Distanza da un punto a qualsiasi linea nello spazio
Caso in cui la linea è definita dall'intersezione di due piani
Nello spazio, studiamo la retta definita dall'intersezione di due piani di equazioni:
(P1):u1X+v1y+w1z+h1=0{\ displaystyle (P_ {1}): u_ {1} x + v_ {1} y + w_ {1} z + h_ {1} = 0 \,}
(P2):u2X+v2y+w2z+h2=0{\ displaystyle (P_ {2}): u_ {2} x + v_ {2} y + w_ {2} z + h_ {2} = 0 \,}
Il piano ( Q ) perpendicolare a ( P 1 ) appartiene al fascio di piani .
P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}
( Q ) sarà perpendicolare a ( P 1 ) perλ=-(u12+v12+w12)u1u2+v1v2+w1w2{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {- (u_ {1} ^ {2} + v_ {1} ^ {2} + w_ {1} ^ {2})} {u_ {1} u_ {2} + v_ {1} v_ {2} + w_ {1} w_ {2}}}}
Siano H 1 , H Q e H le proiezioni ortogonali del punto M rispettivamente su ( P 1 ), ( Q ) e ( D ), da ciò deduciamo .
MH2=MH12+MHQ2{\ displaystyle MH ^ {2} = MH_ {1} ^ {2} + MH_ {Q} ^ {2}}
MH 1 e MH Q verranno calcolati come descritto di seguito.
Caso in cui la linea è definita da un punto e un vettore di direzione diverso da zero
La distanza MH è data da
MH=‖MM0→∧V→‖‖V→‖{\ displaystyle MH = {\ frac {\ | {\ overrightarrow {MM_ {0}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} \ |} {\ | {\ vec {\ mathrm {V}} } \ |}}}
Linee ortogonali a un piano
Essendo il piano definito dall'equazione ux + vy + wz + h = 0 , le rette perpendicolari al piano sono tutte le rette aventi come vettore di direzione . Una linea D passante per il punto e perpendicolare ad a per equazioni:
NON→(u,v,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w)}M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}(P):uX+vy+wz+h=0{\ displaystyle (P): ux + vy + wz + h = 0}
X-X0u=y-y0v=z-z0w{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {u}} = {\ frac {y-y_ {0}} {v}} = {\ frac {z-z_ {0}} {w}} }
nel caso in cui nessuno dei reali, u , v , w , è zero.
Se solo uno dei reali è zero, ad esempio u = 0, il sistema diventa:
X=X0y-y0v=z-z0w{\ displaystyle x = x_ {0} \ qquad {\ frac {y-y_ {0}} {v}} = {\ frac {z-z_ {0}} {w}}}
Se due numeri reali sono zero, ad esempio u = v = 0, il sistema diventa:
X=X0y=y0{\ displaystyle x = x_ {0} \ qquad y = y_ {0}}
Distanza tra due linee rette qualsiasi nello spazio
Siano la linea ( D 0 ) passante e la direzione il vettore e ( D 1 ) la linea passante e la direzioneM0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}V→0(a0,b0,vs0){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0} (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0})}M1(X1,y1,z1){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}V→1(a1,b1,vs1){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1})}
Se i vettori e sono indipendenti, il volume del solido costruito è uguale a | k |. Questo reale viene calcolato utilizzando il prodotto misto :
V→0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0}}V→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}M0M1→,V→0,V→1{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M_ {1}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}
K=(M0M1→,V→0,V→1){\ displaystyle k = ({\ overrightarrow {M_ {0} M_ {1}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ { 1})}L'area della base del solido è data da
‖W→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {\ mathrm {W}}} \ |} ad esempio
W→=V→0∧V→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {W}}} = {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}
La distanza tra le due linee è quindi uguale a d=|K|‖W→‖{\ displaystyle d = {\ frac {| k |} {\ | {\ vec {\ mathrm {W}}} \ |}}}
Se i vettori sono collineari allora le due rette sono parallele e la distanza che le separa corrisponde alla distanza che separa il punto M 1 dalla retta D 0 .
Il piano nello spazio euclideo
Vettore ortogonale a un piano
Sia un punto del piano ( P ) la cui equazione in un sistema di coordinate ortonormali è data da:
M(X,y,z){\ displaystyle M (x, y, z)}
(1bioS)uX+vy+wz+h=0{\ displaystyle (1 \ mathrm {bis}) ux + vy + wz + h = 0}
Per un punto specifico di P otteniamo:
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}
(2bioS)uX0+vy0+wz0+h=0{\ displaystyle (2 \ mathrm {bis}) ux_ {0} + vy_ {0} + wz_ {0} + h = 0}
Sottraendo (2bis) da (1bis) si ottiene:
u(X-X0)+v(y-y0)+w(z-z0)=0{\ Displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) + W (z-z_ {0}) = 0}
Notando il vettore di coordinate ( u , v , w ), esprimiamo (1bis) come segue:
NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NON→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
Il piano P dell'equazione ux + vy + wz + h = 0 è quindi ortogonale al vettore e questo vettore è chiamato vettore normale al piano P.
NON→(u,v,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w)}
Se il coefficiente w non è zero, il piano non contiene una linea parallela all'asse z e l'equazione del piano può essere scritta:
z=aX+by+vs{\ Displaystyle z = ax + by + c}con un = - u / w , b = - v / w e c = - h / w . Il vettore componente (- a , - b , 1) è un vettore normale al piano.
Piano passante per un punto e ortogonale a un dato vettore diverso da zero
Sia un punto e un vettore diverso da zero. Il punto M appartiene al piano P, passante e ortogonale , se e solo se:
M(X,y,z){\ displaystyle M (x, y, z)}NON→(u,v,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w) \,}M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NON→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
Il piano P, passante e ortogonale a , ha quindi la seguente equazione:
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
u(X-X0)+v(y-y0)+w(z-z0)=0{\ Displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) + W (z-z_ {0}) = 0 \,}
Distanza algebrica da un punto a un piano
Sia H la proiezione di su ( P ) con ortogonale a ( P ).
M(X,y,z){\ displaystyle M (x, y, z)}HM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {HM}}}
La retta perpendicolare a ( P ) e passante per M essendo orientata nella direzione del vettore , dimostriamo che la distanza algebrica tra M e ( P ) è data da:
NON→(u,v,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w)}
da(H,M)=uX+vy+wz+hu2+v2+w2{\ displaystyle d _ {\ mathrm {a}} (H, M) = {\ frac {ux + vy + wz + h} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2 }}}}}In valore finale:
‖HM→‖=|uX+vy+wz+h|u2+v2+w2{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {HM}} \ | = {\ frac {| ux + vy + wz + h |} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} }}}}Angoli di due piani
Siano ( P ) e ( P ' ) due piani di equazioni
(P):uX+vy+wz+h=0{\ displaystyle (P): ux + vy + wz + h = 0 \,}
(P′):u′X+v′y+w′z+h′=0.{\ displaystyle (P '): u'x + v'y + w'z + h' = 0.}
L'angolo geometrico ( P , P ' ) viene determinato utilizzando l'angolo dei vettori normali(NON→,NON→′){\ displaystyle ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}} ')}
cos(P,P′)=|cos(NON→,NON→′)|=|NON→⋅NON→′|‖NON→‖‖NON→′‖=|uu′+vv′+ww′|u2+v2+w2×u′2+v′2+w′2{\ displaystyle \ cos (P, P ') = | \ cos ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}}') | = {\ frac {| {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ vec {\ mathrm {N}}} '|} {\ | {\ vec {\ mathrm {N}}} \ | \ | {\ vec {\ mathrm { N}}} '\ |}} = {\ frac {| uu' + vv '+ ww' |} {{\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}} \ volte {\ sqrt {u '^ {2} + v' ^ {2} + W '^ {2}}}}}}
peccato(P,P′)=|peccato(NON→,NON→′)|=‖NON→∧NON→′‖‖NON→‖‖NON→′‖=(vw′-v′w)2+(wu′-uw′)2+(uv′-vu′)2u2+v2+w2×u′2+v′2+w′2{\ displaystyle \ sin (P, P ') = | \ sin ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}}') | = {\ frac {\ | { \ vec {\ mathrm {N}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {N}}} '\ |} {\ | {\ vec {\ mathrm {N}}} \ | \ | {\ vec {\ mathrm {N}}} '\ |}} = {\ frac {\ sqrt {(vw'-v'w) ^ {2} + (wu'-uw') ^ {2} + (uv'-vu ' ) ^ {2}}} {{\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + W ^ {2}}} \ times {\ sqrt {u '^ {2} + v' ^ {2} + w '^ {2}}}}}}
Dal punto di vista dell'applicazione numerica , la forma con il coseno è più precisa quando l'angolo è vicino a π / 2 + k π , e la forma con il seno è più precisa quando l'angolo è vicino a 0 + k π .
Caso speciale: angolo di massima pendenza
L'angolo di maggiore pendenza è l'angolo massimo formato tra qualsiasi piano e il piano orizzontale. In modo pittorico, l'angolo di maggiore pendenza può essere definito come l'angolo formato tra la traiettoria ( rettilinea ) di una palla che circola liberamente su questo piano non specificato e il piano orizzontale.
Data l'equazione di un piano orizzontale:
(P′):u′X+v′y+h′=0{\ displaystyle (P '): u'x + v'y + h' = 0 \,}
L'angolo di maggiore pendenza è dato da:
cos(P,P′)=|cos(NON→,NON→′)|=|uu′+vv′|u2+v2+w2×u′2+v′2{\ displaystyle \ cos (P, P ') = | \ cos ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}}') | = {\ frac {| uu ' + vv '|} {{\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}} \ times {\ sqrt {u' ^ {2} + v '^ {2}}} }}}
Piani perpendicolari
I piani ( P ) e ( P ' ) sono perpendicolari se i vettori sono normali e sono ortogonali, il che implica
NON→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}NON→′{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} '}
uu′+vv′+ww′=0.{\ displaystyle uu '+ vv' + ww '= 0.}
Intersezione di due piani
Siano ( P 1 ) e ( P 2 ) i piani delle rispettive equazioni cartesiane:
u1X+v1y+w1z+h1=0{\ displaystyle u_ {1} x + v_ {1} y + w_ {1} z + h_ {1} = 0 \,}
u2X+v2y+w2z+h2=0{\ displaystyle u_ {2} x + v_ {2} y + w_ {2} z + h_ {2} = 0 \,}
Allora :
- se : i piani sono confusi;u2u1=v2v1=w2w1=h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {w_ {2}} {w_ {1 }}} = {\ frac {h_ {2}} {h_ {1}}}}
- se : i piani sono strettamente paralleli;u2u1=v2v1=w2w1≠h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {w_ {2}} {w_ {1 }}} \ neq {\ frac {h_ {2}} {h_ {1}}}}
A parte i casi precedenti, i due piani si intersecano. La loro linea comune ha come equazione le equazioni dei due piani.
Pacchetto di piani
Il fascio di piani definito dai piani P 1 e P 2 è l'insieme dei piani di soluzione dell'equazione:
αP1+βP2=0{\ displaystyle \ alpha P_ {1} + \ beta P_ {2} = 0}Posando ;
λ=βα{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ beta} {\ alpha}}}
P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}(con la condizione P 2 = 0 allora λ corrisponde a infinito).
- se ( P 1 ) e ( P 2 ) si intersecano in una linea ( D , la trave è l'insieme dei piani passanti per ( D ).P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}
- se ( P 1 ) e ( P 2 ) sono strettamente paralleli, la trave è l'insieme dei piani strettamente paralleli a ( P 1 ).P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}
Condizione affinché tre piani abbiano una linea comune o siano paralleli
Siano i piani dell'equazione:
(P1):u1X+v1y+w1z+h1=0{\ displaystyle (P_ {1}): u_ {1} x + v_ {1} y + w_ {1} z + h_ {1} = 0}(P2):u2X+v2y+w2z+h2=0{\ displaystyle (P_ {2}): u_ {2} x + v_ {2} y + w_ {2} z + h_ {2} = 0}(P3):u3X+v3y+w3z+h3=0{\ displaystyle (P_ {3}): u_ {3} x + v_ {3} y + w_ {3} z + h_ {3} = 0}Se c'è α , β , γ non tutto zero tale che:
αP1+βP2+γP3=0{\ displaystyle \ alpha P_ {1} + \ beta P_ {2} + \ gamma P_ {3} = 0}per tutte le x , y e z
Questa relazione esprime che ( P 1 ) e ( P 2 ) sono i piani di base della trave contenente ( P 3 ).
Piano ed equazione determinante
Piano definito da un punto e due vettori non collineari
Sia un punto e due vettori e non collineari. Un punto M ( x , y , z ) appartiene al piano ( P ) passante e di direzioni e se e solo se ci sono due reali λ e μ tali che . Questa uguaglianza esprime che sono complanari.
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}V→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}V→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2}}M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}V→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}V→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2}}M0M→=λV→1+μV→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ lambda {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} + \ mu {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2} }M0M→,V→1,V→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2}}
Che dà, rappresentando il prodotto misto di questi tre vettori sotto forma di determinante:
det(M0M→,V→1(a1,b1,vs1),V→2(a2,b2,vs2))=0{\ displaystyle \ det ({\ overrightarrow {M_ {0} M}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1}), {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2} (a_ {2}, b_ {2}, c_ {2})) = 0}La sua equazione è:
|X-X0a1a2y-y0b1b2z-z0vs1vs2|=(b1vs2-vs1b2)(X-X0)+(vs1a2-a1vs2)(y-y0)+(a1b2-b1a2)(z-z0)=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & a_ {1} & a_ {2} \\ y-y_ {0} & b_ {1} & b_ {2} \\ z-z_ {0 } & c_ {1} & c_ {2} \ end {vmatrix}} = (b_ {1} c_ {2} -c_ {1} b_ {2}) (x-x_ {0}) + (c_ {1 } a_ {2} - a_ {1} c_ {2}) (y-y_ {0}) + (a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}) (z-z_ {0} ) = 0}che possiamo scrivere nel modulo uX+vy+wz+h=0{\ displaystyle ux + vy + wz + h = 0}
Piano definito da due punti e un vettore
Siano due punti e un vettore non collineare in .
M1(X1,y1,z1),M2(X2,y2,z2){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), M_ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}V→1(a,b,vs){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a, b, c)}M1M2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}}}
Il punto M appartiene al piano passante e di direzione se e solo se i tre vettori: sono complanari, quindi:
M1(X1,y1,z1),M2(X2,y2,z2){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), M_ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}V→1(a,b,vs){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a, b, c)}M1M→,M1M2→,V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {1} M}}, {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}}}
det(M1M→,M1M2→,V→)=0{\ displaystyle \ det ({\ overrightarrow {M_ {1} M}}, {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}}) = 0}La sua equazione è:
|X-X1X2-X1ay-y1y2-y1bz-z1z2-z1vs|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & x_ {2} -x_ {1} & a \\ y-y_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & b \\ z -z_ {1} & z_ {2} -z_ {1} & c \ end {vmatrix}} = 0}
Piano definito da tre punti non allineati
Lascia che ci siano tre punti non allineati.
M1(X1,y1,z1),M2(X2,y2,z2),M3(X3,y3,z3){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), M_ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), M_ {3} ( x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}
Per analogia con quanto sopra, l'equazione del piano che passa per questi tre punti è:
|X-X1X2-X1X3-X2y-y1y2-y1y3-y2z-z1z2-z1z3-z2|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & x_ {2} -x_ {1} & x_ {3} -x_ {2} \\ y-y_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & y_ {3} -y_ {2} \\ z-z_ {1} & z_ {2} -z_ {1} & z_ {3} -z_ {2} \ end {vmatrix}} = 0}
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