Proiezione Cassini
La proiezione Cassini (a volte nota anche come proiezione Cassini-Soldner o Solder ) è una proiezione cartografica descritta da César-François Cassini de Thury nel 1745. È trasversale alla proiezione equirettangolare , nel senso in cui è possibile vederla come l'applicazione della proiezione equirettangolare dopo aver ruotato il globo in modo che il meridiano centrale diventi l'equatore.
Considerando che la terra è una sfera, la proiezione è composta dalle seguenti operazioni:
X=arcsin(cosφpeccatoλ)y=arctan(abbronzaturaφcosλ){\ Displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ right)}![{\ Displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c161122e8f3ddb6400e2a9636037edc744c6b15)
dove λ è la longitudine relativa al meridiano centrale e φ è la latitudine. Quando queste equazioni sono programmate, la funzione arco tangente è in realtà la funzione atan2 , con il primo argomento sin ( φ ) e il secondo argomento cos φ cos λ .
Per invertire questa proiezione, vengono eseguite le seguenti operazioni:
ϕ=arcsin(peccato(y+ϕ0)cos(X))λ=arctan2(abbronzatura(X),cos(y+ϕ0)){\ Displaystyle \ phi = \ arcsin (\ sin (y + \ phi _ {0}) \ cos (x)) \ qquad \ lambda = \ arctan 2 (\ tan (x), \ cos (y + \ phi _ {0}))}![{\ Displaystyle \ phi = \ arcsin (\ sin (y + \ phi _ {0}) \ cos (x)) \ qquad \ lambda = \ arctan 2 (\ tan (x), \ cos (y + \ phi _ {0}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adf7c982ca0e03bce2dfa17ac3a36466e4740a6)
In pratica, con questa proiezione sono sempre stati applicati modelli ellissoidi, il che complica notevolmente il suo sviluppo matematico ma che è utile per la pratica del rilievo. Tuttavia, l'uso della proiezione Cassini è stato completamente soppiantato dalla proiezione di Mercatore almeno nelle più importanti agenzie di cartografia.
Distorsioni
Le zone poste lungo il meridiano centrale, e alla loro perpendicolare, vedono le distanze conservate. Ovunque, la distorsione è ampia nella direzione nord-sud e varia con il quadrato della distanza dal meridiano centrale. Pertanto, più la zona si estende longitudinalmente, più si osserva la distorsione.
Pertanto, la proiezione Cassini funziona meglio con aree strette e meno con aree ampie.
Forma ellittica
La proiezione di Cassini è generalmente nota nella sua forma sferica, ma può anche essere generalizzata a un modello ellissoidale.
Le operazioni che portano alla trasformazione in questa proiezione sono le seguenti:
NON=(1-e2peccato2(ϕ))-1/2{\ displaystyle N = (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} (\ phi)) ^ {- 1/2}}
T=abbronzatura2(ϕ){\ displaystyle T = \ tan ^ {2} (\ phi)}
A=λcos(ϕ){\ displaystyle A = \ lambda \ cos (\ phi)}
VS=e21-e2vsoS2(ϕ){\ displaystyle C = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} cos ^ {2} (\ phi)}
X=NON(A-TA36-(8-T+8VS)TA5120){\ displaystyle x = N (A-T {\ frac {A ^ {3}} {6}} - (8-T + 8C) T {\ frac {A ^ {5}} {120}})}
y=M(ϕ)-M(ϕ0)+NONabbronzatura(ϕ)(A22+(5-T+6VS)A424){\ displaystyle y = M (\ phi) -M (\ phi _ {0}) + N \ tan (\ phi) ({\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 6C ) {\ frac {A ^ {4}} {24}})}
dove M () rappresenta la distanza meridionale .
La proiezione inversa può essere ottenuta seguendo queste operazioni:
ϕ′=M-1(M(ϕ0)+y){\ displaystyle \ phi '= M ^ {- 1} (M (\ phi _ {0}) + y)}![{\ displaystyle \ phi '= M ^ {- 1} (M (\ phi _ {0}) + y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db360b9c2c3fb4b8df8173a560ddc8982cd12dd8)
Se allora eϕ′=π2{\ displaystyle \ phi '= {\ frac {\ pi} {2}}}
ϕ=ϕ′{\ displaystyle \ phi = \ phi '}
λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
altrimenti calcola T e N come in precedenza usando then
ϕ′{\ displaystyle \ phi '}![{\ displaystyle \ phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5304c739c4deec1d259e3235a419e6177fe77a)
R=(1-e2)(1-e2Sionon2ϕ′)-3/2{\ displaystyle R = (1-e ^ {2}) (1-e ^ {2} sin ^ {2} \ phi ') ^ {- 3/2}}
D=X/NON{\ displaystyle D = x / N}
ϕ=ϕ′-abbronzaturaϕ′NONR(D22-(1+3T)D424){\ displaystyle \ phi = \ phi '- \ tan \ phi' {\ frac {N} {R}} ({\ frac {D ^ {2}} {2}} - (1 + 3T) {\ frac { D ^ {4}} {24}})}
λ=(D-TD33+(1+3T)TD515)cosϕ′{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {(DT {\ frac {D ^ {3}} {3}} + (1 + 3T) T {\ frac {D ^ {5}} {15}})} { \ cos \ phi '}}}
Note e riferimenti
-
(in) " Cassini-Soldner - Help " , Environmental Systems Research Institute, Inc. (visitato il 9 giugno 2016 )
-
(a) John P.Snyder, Appiattimento della terra: duemila anni di proiezioni cartografiche ,1993, 365 p. ( ISBN 0-226-76747-7 , leggi online ) , p. 74–76.
link esterno
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