arco meridiano
In geodesia , la misura di un arco di meridiano è la determinazione più esatta possibile della distanza tra due punti situati sullo stesso meridiano , cioè alla stessa longitudine . Due o più di tali determinazioni in posizioni diverse specificano quindi la forma dell'ellissoide di riferimento che fornisce la migliore approssimazione della forma del geoide . Questo processo è chiamato "determinazione della figura della Terra ". Le prime misurazioni delle dimensioni di una Terra sferica avevano bisogno di un singolo arco . Le misurazioni più recenti utilizzano misurazioni astro-geodetiche e metodi di geodesia satellitare per determinare l' ellissoide di riferimento .
Descrizione matematica
Un arco di meridiano su un ellissoide ha la forma esatta di un'ellisse . Pertanto, la sua lunghezza dall'equatore a un punto alla latitudine φ può essere calcolata come un integrale ellittico e approssimata da una serie troncata. Il seguente sviluppo che coinvolge il quadrato dell'eccentricità e fu dato da Jean-Baptiste Joseph Delambre nel 1799:
B≈a(1-e2){(1+34e2+4564e4+175256e6+1102516384e8)φ -12(34e2+1516e4+525512e6+22052048e8)peccato2φ +14(1564e4+105256e6+22054096e8)peccato4φ -16(35512e6+3152048e8)peccato6φ +18(31516384e8)peccato8φ}.{\ displaystyle {\ begin {allineato} B \ approx & \; a (1-e ^ {2}) \ left \ {\ left (1 + {\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {45} {64}} e ^ {4} + {\ frac {175} {256}} e ^ {6} + {\ frac {11025} {16384}} e ^ {8} \ destra) \ varphi \ destra. \\ & \ - {\ frac {1} {2}} \ sinistra ({\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {15} {16}} e ^ {4} + {\ frac {525} {512}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {2048}} e ^ {8} \ destra) \ sin 2 \ varphi \\ & \ + { \ frac {1} {4}} \ sinistra ({\ frac {15} {64}} e ^ {4} + {\ frac {105} {256}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {4096}} e ^ {8} \ destra) \ sin 4 \ varphi \\ & \ - {\ frac {1} {6}} \ sinistra ({\ frac {35} {512}} e ^ {6} + {\ frac {315} {2048}} e ^ {8} \ destra) \ sin 6 \ varphi \\ & \ + {\ frac {1} {8}} \ sinistra. \ sinistra ({\ frac {315 } {16384}} e ^ {8} \ destra) \ sin 8 \ varphi \ destra \}. \\\ end {allineato}}}
Friedrich Robert Helmert usò la seguente formula nel 1880, posando :
non=1-1-e21+1-e2≃e24{\ displaystyle n = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {1 + {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} \ simeq {\ frac {e ^ {2}} {4}}}
B≈a1+non{(1+non24+non464)φ-32(non-non38)peccato2φ +1516(non2-non44)peccato4φ-3548non3peccato6φ+315512non4peccato8φ}.{\ displaystyle {\ begin {allineato} B \ approx & \; {\ frac {a} {1 + n}} \ left \ {\ left (1 + {\ frac {n ^ {2}} {4}} + {\ frac {n ^ {4}} {64}} \ destra) \ varphi - {\ frac {3} {2}} \ sinistra (n - {\ frac {n ^ {3}} {8}} \ destra) \ sin 2 \ varphi \ destra. \\ & \ \ sinistra. + {\ frac {15} {16}} \ sinistra (n ^ {2} - {\ frac {n ^ {4}} {4 }} \ destra) \ sin 4 \ varphi - {\ frac {35} {48}} n ^ {3} \ sin 6 \ varphi + {\ frac {315} {512}} n ^ {4} \ sin 8 \ varphi \ right \}. \\\ end {allineato}}}
Kazushige Kawase ha fornito una formula generale nel 2009:
B=a1+nonΣj=0∞(ΠK=1jεK)2{φ+Σl=12j(1l-4l)peccato2lφΠm=1lεj+(-1)m⌊m/2⌋(-1)m},{\ displaystyle B = {\ frac {a} {1 + n}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {k = 1} ^ {j} \ varepsilon _ {k } \ destra) ^ {2} \ sinistra \ {\ varphi + \ sum _ {l = 1} ^ {2j} \ sinistra ({\ frac {1} {l}} - 4l \ destra) \ sin 2l \ varphi \ prod _ {m = 1} ^ {l} \ varepsilon _ {j + (- 1) ^ {m} \ lfloor m / 2 \ rfloor} ^ {(- 1) ^ {m}} \ destra \}, }
in cui .
εio=3non/2io-non{\ displaystyle \ varepsilon _ {i} = 3n / 2i-n}
Troncando la somma in j = 2, otteniamo la formula di Helmert.
approssimazioni
La distanza polare può essere approssimata dalla formula di Muir :
mp=∫0π/2M(φ)dφ≈π2[a3/2+b3/22]2/3.{\ displaystyle m_ {p} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! M (\ varphi) \, d \ varphi \; \ approx {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {a ^ {3/2} + b ^ {3/2}} {2}} \ destra] ^ {2/3} \, \ !.}![{\ displaystyle m_ {p} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! M (\ varphi) \, d \ varphi \; \ approx {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {a ^ {3/2} + b ^ {3/2}} {2}} \ destra] ^ {2/3} \, \ !.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0519794eb690db9354a3ecfb500c0fd12398b544)
Note e riferimenti
-
Delambre, JBJ (1799): Metodi analitici per la determinazione di un arco meridiano ; preceduta da una memoria sullo stesso argomento di AM Legendre , De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72-73
-
(De) Helmert, FR (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie , Einleitung und 1 Teil , Druck und Verlag von BG Teubner, Lipsia, 44-48
-
(ja)河 瀬 和 重 (Kawase, K.) (2009):緯度 を 与 え て 赤道 か ら の の 弧長 を 求 め る 一子般 的 な 計算 式 (una formula generale per la distanza meridionale dal Equatore a data latitudine) , 国土地理 院 時報 (Journal of the Geographical Survey Institute), 119 , 45–55
-
(in) Kawase, K. (2011): Una formula generale per il calcolo della lunghezza dell'arco meridiano e la sua applicazione alla conversione delle coordinate nella proiezione di Gauss-Kruger , Bollettino della Geospatial Information Authority of Japan , 59 , 1-13
Vedi anche
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