Problema Brocard

Il problema di Brocard è un problema di teoria dei numeri che chiede di trovare valori interi di n e m che soddisfino l' equazione diofantea :

{\ stile di visualizzazione n! + 1 = m ^ {2}}

dove n! è la funzione fattoriale . Questa fu posta da Henri Brocard in due articoli nel 1876 e nel 1885, e indipendentemente nel 1913 da Srinivasa Ramanujan .

Numeri marroni

Le coppie di interi ( n , m ) che sono soluzioni del problema di Brocard sono chiamate numeri Brown . Ci sono solo tre coppie note di numeri marroni:

(4.5), (5.11) e (7.71).

Paul Erdős ha ipotizzato che non ci siano altre soluzioni. Overholt, nel 1993, ha mostrato che esiste solo un numero finito di soluzioni, a condizione che la congettura abc sia vera. Berndt e Galway nel 2000 hanno eseguito calcoli per n inferiore a 10 9 e non hanno trovato ulteriori soluzioni. Matson ha affermato nel 2017 di aver esteso questi calcoli a 10 21 .

Varianti del problema

Dabrowski ha generalizzato il risultato di Overholt nel 1996 mostrando che sarebbe derivato dalla congettura abc che

{\ stile di visualizzazione n! + A = k ^ {2}}

non solo ha un numero finito di soluzioni per un dato intero A . Questo risultato è stato ulteriormente generalizzato da Luca (2002), il quale ha mostrato (sempre assumendo vera la congettura abc) che l'equazione

{\ stile di visualizzazione n! = P (x)}

ha solo un numero finito di soluzioni intere per un dato polinomio P di grado almeno 2 con coefficienti interi.

Cushinge e Pascoe hanno mostrato nel 2016 che sarebbe derivato dalla congettura abc che

{\ stile di visualizzazione n! + K = m,}

ha solo un numero finito di soluzioni, dove K è un numero intero ed è un numero potente . ${\ stile di visualizzazione m = a ^ {2} b ^ {3}}$

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Il problema di Brocard " ( vedi elenco degli autori ) .

Bruce C. Berndt e William F. Galway , “ L'equazione diofantea di Brocard – Ramanujan n ! + 1 = m 2 ”, The Ramanujan Journal , 1409 West Green Street, Urbana, Illinois 61801, USA, Department of Mathematics, University of Illinois, vol. 4, n ° 1,marzo 2000, pag. 41–42 ( DOI 10.1023/A: 1009873805276 , presentazione online , leggi online ).
H. Brocard , “ Domanda 166 ”, Nuova corrispondenza matematica , vol. 2,1876( presentazione on line ).
H. Brocard , “ Domanda 1532 ”, Nouvelles Annales de Mathématiques , vol. 4,1885( presentazione on line ).
A. Dabrowski , “ Sull'equazione diofantea x ! + A = y 2 ”, Nieuw Danemark voor Wiskunde , vol. 14,gennaio 1996, pag. 321–324 ( presentazione online ).
RK Guy , Problemi irrisolti nella teoria dei numeri , New York, Springer-Verlag ,1994, 2 ° ed. ( ISBN 0-387-90593-6 ) , "D25: Equazioni che coinvolgono fattoriali", p. 193–194.
Florian Luca , “ L'equazione diofantea P ( x ) = n ! e un risultato di M. Overholt ”, Glasnik Matematički , vol. 37,2002, pag. 269–273 ( leggi online ).
Robert Matson , " Ricerca della quarta soluzione del problema di Brocard utilizzando i residui quadratici ", problemi irrisolti in teoria dei numeri, logica e crittografia ,2017( leggi in linea ).
Marius Overholt , “ L'equazione diofantea n ! + 1 = m 2 ”, Bollettino della London Mathematical Society , vol. 25, n o 21993, pag. 104 ( DOI 10.1112 / blm / 25.2.104 ).
(it) Autore sconosciuto " I numeri potenti e la congettura ABC ",2016. .

link esterno

Ed Copeland , " Brown Numbers " , Numberphile , su Numberphile , Brady Haran