Prova ontologica di Gödel

La prova ontologica di Gödel è un argomento formale della logica modale del matematico Kurt Gödel (1906-1978) per l'esistenza di Dio . L'idea dell'argomento risale ad Anselmo di Canterbury (1033-1109) e fu ripresa da Gottfried Leibniz (1646-1716).

Dimostrazione

La dimostrazione si basa sulle seguenti definizioni e assiomi:

• Definizione 1: x è divino (proprietà denotata da G (x)) se e solo se x contiene come proprietà essenziali tutte le proprietà positive e solo queste.
• Definizione 2: A è un'essenza di x se e solo se per ogni proprietà B, se x contiene B allora A implica B.
• Definizione 3: x esiste necessariamente se e solo se ciascuna essenza di x è necessariamente esemplificata.
• Assioma 1: qualsiasi proprietà strettamente implicita da una proprietà positiva è positiva.
• Assioma 2: una proprietà è positiva se e solo se la sua negazione non è positiva.
• Assioma 3: La proprietà di essere divino è positiva.
• Assioma 4: se una proprietà è positiva, è necessariamente positiva.
• Assioma 5: l'esistenza necessaria è positiva.

Da questi e dagli assiomi della logica modale, deduciamo, in ordine:

• Teorema 1: se una proprietà è positiva, può essere esemplificata.
• Teorema 2: La proprietà di essere divino è forse esemplificata.
• Teorema 3: se x è divino, la proprietà di essere divino è un'essenza di x.
• Teorema 4: La proprietà di essere divino è necessariamente esemplificata.

Scrittura simbolica

Ascia. 1.P(φ)∧◻∀X[φ(X)→ψ(X)]→P(ψ)Ascia. 2.P(¬φ)⟺¬P(φ)Th. 1.P(φ)→◊∃X[φ(X)]Df. 1.G(X)⟺∀φ[P(φ)→φ(X)]Ascia. 3.P(G)Th. 2.◊∃XG(X)Df. 2.φessX⟺φ(X)∧∀ψ{ψ(X)→◻∀y[φ(y)→ψ(y)]}Ascia. 4.P(φ)→◻P(φ)Th. 3.G(X)→GessXDf. 3.E(X)⟺∀φ[φessX→◻∃yφ(y)]Ascia. 5.P(E)Th. 4.◻∃XG(X){\ displaystyle {\ begin {array} {rl} {\ mbox {Ax. 1.}} & P (\ varphi) \ land \ Box \; \ forall x [\ varphi (x) \ rightarrow \ psi (x)] \ rightarrow P (\ psi) \\ {\ mbox {Ax. 2.}} & P (\ neg \ varphi) \ iff \ neg P (\ varphi) \\ {\ mbox {Th. 1.}} & P (\ varphi) \ rightarrow \ Diamond \; \ exist x \; [\ varphi (x)] \\ {\ mbox {Df. 1.}} & G (x) \ iff \ forall \ varphi [P (\ varphi) \ rightarrow \ varphi (x)] \\ {\ mbox {Ax. 3.}} & P (G) \\ {\ mbox {Th. 2.}} & \ Diamond \; \ exist x \; G (x) \\ {\ mbox {Df. 2.}} & \ Varphi \; \ operatorname {ess} \; x \ iff \ varphi (x) \ land \ forall \ psi \ lbrace \ psi (x) \ rightarrow \ Box \; \ forall y [\ varphi ( y) \ rightarrow \ psi (y)] \ rbrace \\ {\ mbox {Ax. 4.}} & P (\ varphi) \ rightarrow \ Box \; P (\ varphi) \\ {\ mbox {Th. 3.}} & G (x) \ rightarrow G \; \ operatorname {ess} \; x \\ {\ mbox {Df. 3.}} & E (x) \ iff \ forall \ varphi [\ varphi \; \ operatorname {ess} \; x \ rightarrow \ Box \; \ exist y \; \ varphi (y)] \\ {\ mbox {Ax. 5.}} & P (E) \\ {\ mbox {Th. 4.}} & \ Box \; \ esiste x \; G (x) \ end {array}}}

Dove significa "A è possibile" e dove significa "A è necessario". ◊A{\ displaystyle \ Diamond \; A}◻A{\ displaystyle \ Box \; A}

Storico

Kurt Gödel non pubblicò mai questo lavoro, che iniziò nel 1941 e perfezionò nel 1954 e nel 1970. Piergiorgio Odifreddi ritiene che Gödel non volesse dare l'impressione di essere interessato alla teologia, mentre "si preoccupava solo della parte logica del pensiero . Ha presentato questa prova agli amici in diverse occasioni intorno al 1970, ma non è stata pubblicata fino al 1987, nove anni dopo la sua morte .

L'assioma 3 originariamente diceva che una congiunzione di proprietà positive è anche una proprietà positiva . Ma le proprietà positive potrebbero essere incompatibili tra loro: la loro congiunzione sarebbe una proprietà impossibile e G (x) sarebbe falsa per ogni x (cioè la proprietà di essere divino non sarebbe esemplificata).

Recensioni

Critica del ragionamento

La prova stessa, cioè il fatto che la conclusione consegue logicamente dagli assiomi scelti, è ora praticamente inconfutabile dato che è stata verificata dal computer.

Concetto di positività

Un punto importante da notare è che nessuna definizione del concetto di positività viene fornita con le prove. Tutt'al più, si può ritenere che i vari assiomi ad esso relativi forniscano una parziale definizione implicita.

Leibniz, da cui Gödel è stato ispirato, usa questo aggettivo per le qualità che rendono qualcosa "migliore" di ciò che è senza di loro.

Autoreferenzialità

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D'altra parte, si può sostenere che gli assiomi 3 e 5 (positività di G e della proprietà dell'esistenza necessaria) suppongono più di quanto sembri, perché la nozione di positività ha realmente significato solo per proprietà eventualmente esemplificate. Quindi, i teoremi 1 e 2 (possibile esistenza di G ed E) sono già implicitamente contenuti negli assiomi. La dimostrazione dei Teoremi 1 e 2 rimane logicamente valida, ma non porterebbe altro che la prova: "Assioma 1: Dio esiste. Teorema 1: Dio esiste".

Tuttavia, una tale accusa di mendicare contro il Teorema 4 è difficile.

Possibili generalizzazioni abusive

Secondo Jordan Sobel , gli assiomi di Gödel devono essere respinti perché implicano che tutti i mondi possibili sono necessari. Mostra più precisamente che se X è una proprietà possibilmente esemplificata, si deduce che X è necessariamente esemplificato. Un argomento simile dimostra che tutte le proprietà possibilmente non esemplificate sono in realtà necessariamente così.

C. Anthony Anderson ha tentato di porre rimedio a questo problema sostituendo Axiom 2 con:

• Assioma 2: se una proprietà è positiva, la sua negazione non è positiva,

e consentendo a un oggetto divino di possedere proprietà non positive, a condizione che queste proprietà siano contingenti e non necessarie.

Note e riferimenti

• (fr) Questo articolo è parzialmente o totalmente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “  La prova ontologica di Gödel  ” ( vedi l'elenco degli autori ) .

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2. Piergiorgio Odifreddi, "  Una dimostrazione divina  ", WMY 2000, Anno mondial della matematica , Bollati Boringhieri,2000
4. (in) Conifold, "  Cosa intendeva Gödel per" proprietà positiva "nel suo argomento ontologico?  » , Su Philosophy.stackexchange.com ,1 ° gennaio 2020(accesso 19 gennaio 2020 )

Bibliografia

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Vedi anche

Articoli Correlati

• Argomento ontologico
• Logica modale

link esterno

• Bibliografia di studi sull'argomento ontologico di Gödel
• Piergiorgio Odifreddi, Una dimostrazione divina - prova ontologica, da Anselmo a Gödel
• (en) Christopher Small, "  Riflessioni sull'argomento ontologico di Gödel  " , Università di Waterloo (PDF).