Polinomio di chiamata generalizzato

In matematica , una sequenza di polinomi ha una rappresentazione di Appell generalizzata se la funzione generatrice dei polinomi assume la forma: ${\ displaystyle (p_ {n} (z)) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ Displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

dove la funzione generatrice è composta dalla serie : ${\ displaystyle K (z, w)}$

${\ displaystyle A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} w ^ {n}}$ con ; ${\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}$
${\ displaystyle \ Psi (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} t ^ {n}}$ con tutti ; ${\ displaystyle \ Psi _ {n} \ neq 0}$
${\ displaystyle g (w) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g_ {n} w ^ {n}}$ con . ${\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}$

Nelle condizioni di cui sopra, non è difficile dimostrare che è un polinomio di grado . ${\ displaystyle p_ {n} (z)}$ $non$

Casi speciali

La scelta di dà la classe dei polinomi di Brenke (en) . ${\ displaystyle g (w) = w}$
La scelta di dà la sequenza dei polinomi di Sheffer . ${\ Displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}$
La scelta simultanea di e fornisce la sequenza dei polinomi di Appell in senso stretto. ${\ displaystyle g (w) = w}$ ${\ Displaystyle \ Psi (t) = \ operatorname {e} ^ {t}}$

Rappresentazione esplicita

I polinomi di chiamata generalizzata hanno la rappresentazione esplicita

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} \ Psi _ {k} h_ {k}}

Il coefficiente è ${\ displaystyle h_ {k}}$

{\ displaystyle h_ {k} = \ sum _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} \ ldots g_ {j_ {k}}}

dove la somma si estende a tutte le “ partizioni in senso lato” di n in k + 1 parti, vale a dire a tutte ( k + 1) tupla j di numeri interi positivi o zero di somma n .

Per i polinomi di Appell, questa formula diventa:

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {nk} z ^ {k}} {k!}}}

Relazioni ricorrenti

Allo stesso modo, una condizione necessaria e sufficiente per scrivere il kernel come con è quella ${\ displaystyle K (z, w)}$ ${\ displaystyle A (w) \ Psi (zg (w))}$ ${\ displaystyle g_ {1} = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial w}} = c (w) K (z, w) + {\ frac {zb (w)} {w}} {\ frac {\ partial K (z, w)} {\ partial z}}}

dove e avere uno sviluppo seriale ${\ displaystyle b (w)}$ ${\ displaystyle c (w)}$

{\ displaystyle b (w) = {\ frac {w} {g (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} g (w) = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} w ^ {n}}

{\ displaystyle c (w) = {\ frac {1} {A (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} w ^ {n}}

Effettuando la sostituzione

{\ displaystyle K (z, w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

arriva immediatamente la relazione di ricorrenza :

{\ displaystyle z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ left [{\ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} \ right] = - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} {\ frac {d } {dz}} p_ {k} (z)}

Nel caso particolare dei polinomi di Brenke, abbiamo e quindi tutti gli sono zero, il che semplifica notevolmente la relazione di ricorrenza. ${\ displaystyle g (w) = w}$ $b_n$

Credito dell'autore

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Polinomi di Appell generalizzati " ( vedere l'elenco degli autori ) .

Bibliografia

(en) Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck (en) , Polynomial Expansions of Analytic Functions , New York / Berlin, Academic Press / Springer-Verlag ,1964, 2 ° ed.
(en) William C. Brenke, " Sulla generazione di funzioni di sistemi polinomiali " , Amer. Matematica. Mese. , vol. 52,1945, p. 297-301
(en) WN Huff, " Il tipo dei polinomi generati da f (xt) φ (t) " , Duke Math. J. , vol. 14,1947, p. 1091-1104