Punti Cociclici
In geometria, i punti del piano si dicono ciclici se appartengono allo stesso cerchio .
Tre punti non allineati del piano sono ciclici. In effetti, ogni triangolo ha un cerchio circoscritto .
Quattro punti ciclici
Proprietà - Let , , e
quattro punti distinti del piano. Così , , ,
sono ciclica o allineati se e solo se abbiamo l'uguaglianza di angoli orientati
A{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}
A{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
(VSA→,VSB→)=(DA→,DB→)modπ.{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {CA}}, {\ overrightarrow {CB}} \ right) = \ left ({\ overrightarrow {DA}}, {\ overrightarrow {DB}} \ right) \ mod \ pi .}
La proprietà precedente è un corollario del teorema dell'angolo inscritto .
Se sono i rispettivi affissi di , viene scritta anche la condizione precedente
a,b,vs,d{\ displaystyle a, b, c, d}
A,B,VS,D{\ displaystyle A, B, C, D}![A, B, C, D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684d01c09b12e5a28987c6127567daef29ee3b44)
arg(vs-bvs-a)=arg(d-bd-a)modπ{\ Displaystyle \ arg \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right) = \ arg \ left ({\ frac {db} {da}} \ right) \ mod \ pi}
Quindi, utilizzando il rapporto incrociato , la condizione equivalente:
[a,b,vs,d]=(vs-bvs-a):(d-bd-a){\ displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)}![{\ displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc63112aba109f3f62c7d2901d806cc473be54e3)
vero
Il teorema di Tolomeo fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la ciclicità a quattro punti dalla loro distanza.
Teorema - Siano , , e
quattro punti distinti del piano. Questi punti sono ciclici se e solo se viene verificata una delle seguenti quattro uguaglianze:
A{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
AB.VSD±AVS.DB±AD.BVS=0{\ displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}![{\ displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4510b9ab2b7b5f39d2138f162d5d452ce949fd)
.
L'istruzione fornisce "quattro uguaglianze" perché ± deve leggere + o -.
Riferimento
-
Dato in questa forma da Marcel Berger , Living Geometry: or Jacob's Scale , Cassini, coll. "Nuova libreria matematica",2009( ISBN 9782842250355 ), p. 154 .
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