Zero di una funzione olomorfa

Nell'analisi complessa , chiamiamo zero di una funzione olomorfa un numero complesso tale che . f{\ displaystyle f} a{\ displaystyle a}f(a)=0{\ displaystyle f (a) = 0}

Ordine di molteplicità di uno zero isolato

In questa sezione, denota un insieme aperto di ℂ, una funzione olomorfa e (elemento di ) uno zero di . U{\ displaystyle U}f:U→VS{\ displaystyle \ scriptstyle f: U \ to \ mathbb {C}}a{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}

Esiste un disco aperto compreso in cui si sviluppa in serie intera (di raggio di convergenza almeno uguale a ): D(a,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}r{\ displaystyle r}

∀z∈D(a,r),f(z)=∑K=1+∞αK(z-a)K{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k}}(il termine costante è e gli altri coefficienti sono ).α0=f(a)=0{\ displaystyle \ alpha _ {0} = f (a) = 0}αK=f(K)(a)/K!{\ Displaystyle \ alpha _ {k} = f ^ {(k)} (a) / k!}

Definizione  -  è uno zero isolato di se è un punto isolato dall'insieme di zeri di , cioè se, in un disco di centro e raggio sufficientemente piccoli, è l'unico punto in cui svanisce. a{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}a{\ displaystyle a}a{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}

Sono possibili (solo) due casi:

• Se per qualsiasi numero intero , alloraK>0{\ displaystyle k> 0}αK=0{\ displaystyle \ alpha _ {k} = 0}

∀z∈D(a,r),f(z)=0{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = 0} : è identicamente zero su  ; è quindi in questo caso uno zero non isolato  ;f{\ displaystyle f}D(a,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}a{\ displaystyle a}

• Altrimenti, sia l'indice del primo coefficiente diverso da zero dell'intera serie ( e ): possiamo scriverenon{\ displaystyle n}non≥1{\ displaystyle \ scriptstyle n \ geq 1}αnon≠0{\ displaystyle \ scriptstyle \ alpha _ {n} \ neq 0}

∀z∈D(a,r),f(z)=∑K=non+∞αK(z-a)K=(z-a)nong(z),{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ sum _ {k = n} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k} = (za) ^ {n} \, g (z),} dove è definito da:g:D(a,r)→VS{\ displaystyle \ scriptstyle g \ ,: \, \ mathrm {D} (a, \, r) \, \ to \, \ mathbb {C}} ∀z∈D(a,r),g(z)=∑ℓ=0+∞αℓ+non(z-a)ℓ.{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, g (z) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {\ ell + n} \, (za) ^ {\ ell}.} Questa funzione è analitica ed è diversa da zero.g{\ displaystyle g}g(a)=αnon{\ displaystyle g (a) = \ alpha _ {n}} Per continuità di in , esiste un reale strettamente positivo tale che non si cancella .g{\ displaystyle g}a{\ displaystyle a}r1<r{\ displaystyle r_ {1} <r}g{\ displaystyle g}D(a,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})} Infine, per qualsiasi elemento di  :z{\ displaystyle z}D(a,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})} f(z)=(z-a)nong(z)eg(z)≠0.{\ displaystyle f (z) = (za) ^ {n} g (z) \ quad {\ text {e}} \ quad g (z) \ neq 0.} Ne deduciamo che è l'unico punto in cui viene cancellato; è quindi in questo caso uno zero isolato .a{\ displaystyle a}D(a,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})}f{\ displaystyle f}a{\ displaystyle a}

Possiamo riassumere questo con la seguente definizione e teorema.

Definizione

L' ordine di molteplicità (o la molteplicità ) di uno zero isolato di è il numero intero unico tale che: a{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}non>0{\ displaystyle n> 0}

• per tutto naturale ,K<non{\ displaystyle k <n}f(K)(a)=0 {\ displaystyle f ^ {(k)} (a) = 0 ~}

e

• f(non)(a)≠0.{\ displaystyle f ^ {(n)} (a) \ neq 0.}

Quando , diciamo che è un semplice zero. non=1{\ displaystyle n = 1}a{\ displaystyle a}

Teorema

• a{\ displaystyle a}è un ordine zero isolato a (e se) solo se esiste una funzione olomorfa , definita su un disco aperto incluso , come: non{\ displaystyle n}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}D(a,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}
  • ∀z∈D(a,r),f(z)=(z-a)nong(z){\ Displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = (za) ^ {n} \, g (z)} e
  • g(a)≠0.{\ displaystyle g (a) \ neq 0.}
• Principio degli zeri isolati  : se è uno zero non isolato di , allora esiste un disco aperto incluso in cui è zero.a{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}D(a,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}

Nota

Definiamo in algebra l'analoga nozione di ordine di molteplicità di una radice di un polinomio diverso da zero, di cui ciò che è stato appena definito costituisce una generalizzazione.

Esempio

Sia un numero complesso e a{\ displaystyle a}

f:VS→VS, z↦exp⁡(z)-exp⁡(a)-(z-a) exp⁡(a).{\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, ~ z \ mapsto \ exp (z) - \ exp (a) - (za) ~ \ exp (a).}

Questa funzione è integrale (cioè olomorfa su ℂ) ed è uno zero isolato di ordine 2. a{\ displaystyle a}

Lo verifichiamo

f(a)=f′(a)=0ef″(a)≠0.{\ displaystyle f (a) = f '(a) = 0 \ quad {\ text {e}} \ quad f' '(a) \ neq 0.}

Applicazione

Dal principio degli zeri isolati si deduce il seguente principio, una dimostrazione del quale è proposta nell'articolo Estensione analitica .

Principio di estensione analitica

Sia un insieme aperto connesso e due funzioni definite e olomorfe . U{\ displaystyle U}f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}U{\ displaystyle U}

Se l'insieme ha almeno un punto non isolato , allora . {z∈U∣f1(z)=f2(z)}{\ displaystyle \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = f_ {2} (z) \}}f1=f2{\ displaystyle f_ {1} = f_ {2}}

O :

se c'è un elemento di e una suite di elementi distinti , convergenti , tali che per qualsiasi intero , allora a{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}(znon){\ displaystyle (z_ {n})}U{\ displaystyle U}a{\ displaystyle a}a{\ displaystyle a}non{\ displaystyle n}f1(znon)=f2(znon){\ displaystyle f_ {1} (z_ {n}) = f_ {2} (z_ {n})}

∀z∈Uf1(z)=f2(z){\ displaystyle \ forall z \ in U \ quad f_ {1} (z) = f_ {2} (z)}.

Esempio

Sia un insieme aperto connesso di ℂ contenente un intervallo di ℝ non ridotto a un punto: i punti di non sono isolati. U{\ displaystyle U}io{\ displaystyle I}io{\ displaystyle I}

Se le funzioni sono olomorfe e coincidono , allora coincidono . f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}U{\ displaystyle U}io{\ displaystyle I}U{\ displaystyle U}

Ciò significa che una funzione di in ℂ ammette al massimo una continuazione analitica a un insieme aperto connesso di ℂ contenente . io{\ displaystyle I}U{\ displaystyle U}io{\ displaystyle I}

• Pertanto, la funzione esponenziale complessa è l' unica estensione analitica a ℂ della funzione esponenziale reale.
• Partiamo dal presupposto che l'identità sia nota per qualsiasi coppia di reali. Può essere esteso per estensione analitica a qualsiasi coppia di numeri complessi. In effeti : exp⁡(X+y)=exp⁡(X)exp⁡(y){\ Displaystyle \ exp (x + y) = \ exp (x) \ exp (y)}
  • Lascia che sia reale. Definiamo su ℂ (aperto connesso) due funzioni olomorfe impostando e . Queste due funzioni coincidono su ℝ, quindi (principio di continuazione analitica) su ℂ: per qualsiasi complesso , e tutto questo per reale  ;y{\ displaystyle y}f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}f1(z)=exp⁡(z+y){\ displaystyle f_ {1} (z) = \ exp (z + y)}f2(z)=exp⁡(z)exp⁡(y){\ displaystyle f_ {2} (z) = \ exp (z) \ exp (y)}z{\ displaystyle z}exp⁡(z+y)=exp⁡(z)exp⁡(y){\ Displaystyle \ exp (z + y) = \ exp (z) \ exp (y)}y{\ displaystyle y}
  • Sia complesso. Definiamo su ℂ (aperto connesso) due funzioni olomorfe impostando e . Queste due funzioni coincidono su ℝ (secondo il punto precedente), quindi (principio di continuazione analitica) su ℂ: per ogni complesso , e quella per ogni z complesso.z{\ displaystyle z}f3,f4{\ displaystyle f_ {3}, f_ {4}}f3(u)=exp⁡(z+u){\ Displaystyle f_ {3} (u) = \ exp (z + u)}f4(u)=exp⁡(z)exp⁡(u){\ Displaystyle f_ {4} (u) = \ exp (z) \ exp (u)}u{\ displaystyle u}exp⁡(z+u)=exp⁡(z)exp⁡(u){\ Displaystyle \ exp (z + u) = \ exp (z) \ exp (u)}

Numero di zeri

Il principio dell'argomento permette di dare il numero di zeri di una funzione olomorfa, contata con molteplicità, inclusa in un disco.

Se F è olomorfo su un intorno di un disco chiuso D tale che F non svanisce sul bordo del disco, la seguente formula fornisce il numero di zeri di F , contati con molteplicità, nel disco D :

12ioπ∮∂DF′(ξ)F(ξ) dξ.{\ displaystyle {\ frac {1} {2i \ pi}} \ anint _ {\ partial D} {\ frac {F '(\ xi)} {F (\ xi)}} ~ \ mathrm {d} \ xi .} <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">