La disgiunzione logica , o disgiunzione non esclusiva di due affermazioni è un modo per affermare che almeno una di queste due asserzioni è vera (la prima, la seconda o entrambe).
Nel linguaggio logico o matematico , e nei campi tecnici che lo impiegano, è tradotto dall'OR logico , un operatore logico nel calcolo delle proposizioni . La proposizione ottenuta collegando due proposizioni da questo operatore è anche chiamata la loro disgiunzione o la loro somma logica . La disgiunzione di due proposizioni P e Q è vera quando una delle proposizioni è vera, ed è falsa quando entrambe sono false contemporaneamente.
Nella teoria della dimostrazione , più particolarmente nella deduzione naturale e nel calcolo dei sequenti , la disgiunzione è governata da regole di introduzione e regole di eliminazione .
La disgiunzione è scritta: P ∨ Q e legge "P o Q"Il simbolo “∨” è chiamato connettore dell'interruttore.
La tabella di verità di una disgiunzione è data dalla seguente tabella:
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| vero | vero | vero |
| vero | falso | vero |
| falso | vero | vero |
| falso | falso | falso |
Nota: Boole , per stretta analogia con la matematica ordinaria, ha imposto nella definizione di x + y , la condizione di mutua esclusione di x e y . William Jevons , e praticamente tutti i logici matematici che gli succedettero, sostenevano per vari motivi l'uso di una definizione di somma logica che non richiedesse l'esclusione reciproca.
La disgiunzione che abbiamo descritto è un operatore binario , il che significa che combina due proposizioni in una. Tuttavia, possiamo concatenare disgiunzioni, considerando ad esempio A ∨ B ∨ C , che è per definizione l'una o l'altra delle due proposizioni logicamente equivalenti ( A ∨ B ) ∨ C o A ∨ ( B ∨ C ). Questa proposizione è vera quando una delle proposizioni A , B o C è vera. La sequenza delle congiunzioni è resa possibile grazie all'associatività di ∨. L'operatore è anche commutativo ; A ∨ B è equivalente a B ∨ A .
Siano P , Q e R tre proposizioni.
Idempotenza di "o":
( P ∨ P ) ⇔ P
Commutatività della "o":
( P ∨ Q ) ⇔ ( Q ∨ P )
Associatività della "o":
(( P ∨ Q ) ∨ R ) ⇔ ( P ∨ ( Q ∨ R ))
La negazione di una disgiunzione è la congiunzione di negazioni:
¬ ( P ∨ Q ) ⇔ ((¬ P ) ∧ (¬ Q ))
La negazione di una congiunzione è la disgiunzione delle negazioni:
¬ ( P ∧ Q ) ⇔ ((¬ P ) ∨ (¬ Q ))
Distributività di "o" rispetto a "e":
( P ∨ ( Q ∧ R )) ⇔ (( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ))
Distributività di "e" rispetto a "o":
( P ∧ ( Q ∨ R )) ⇔ (( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ))
La nozione corrispondente nella teoria degli insiemi è la riunione.
A volte troviamo l'espressione "e / o". È una barbarie , il cui significato è esattamente lo stesso della congiunzione coordinante "o" tutto da solo ("l'uno o l'altro o entrambi") che deve essere preferito.
Nella lingua di tutti i giorni, "l'uno o l'altro, ma non entrambi" sarà reso dalla frase "o". Logicamente questo è chiamato disgiunzione esclusiva o il o esclusivo , al contrario di "o" che è anche chiamato disgiunzione inclusiva o il o inclusivo . Tuttavia, se il contesto non è ambiguo, ad esempio quando chiediamo "prendi un caffè o un tè?" "- si presume che il ricercato non prenderà entrambi - accade che" o "indichi un'alternativa e abbia lo stesso significato di" o ". Allo stesso modo con "formaggio o dolce", il contesto del ristorante implica che non si possono avere entrambi.