Orbifold

In matematica , un orbifold (a volte chiamato anche orbivarietà) è una generalizzazione della nozione di varietà contenente possibili singolarità . Questi spazi sono stati introdotti esplicitamente Ichirō Satake nel 1956 come V-collettori . Per passare dalla nozione di varietà (differenziabile) a quella di orbifold, aggiungiamo come modelli locali tutti i quozienti di apertura per azione di gruppi finiti . L'interesse per questi oggetti è stato ripreso considerevolmente alla fine degli anni '70 da William Thurston in connessione con la sua congettura di geometrizzazione . $R ^ {n}$

In fisica, questi spazi erano inizialmente considerati come spazi di compattazione nella teoria delle stringhe perché nonostante la presenza di singolarità la teoria è ben definita. Quando utilizzati nel contesto più specifico della teoria delle superstringhe , gli orbifold autorizzati devono avere la proprietà aggiuntiva di essere varietà Calabi-Yau al fine di preservare una quantità minima di supersimmetria . Ma nel caso in cui siano presenti singolarità, questa è un'estensione della definizione originale di spazi di Calabi-Yau perché questi sono in linea di principio spazi senza singolarità.

Definizione

Come un collettore, un orbifold è specificato dai dati di riattacco tra modelli locali; tuttavia, invece di essere questi modelli locali aperture di R n , sono quozienti di tali aperti da azioni di gruppi finiti. I dati sulla colla descrivono non solo la struttura dello spazio quoziente, che non è necessariamente una varietà, ma anche quella dei sottogruppi di isotropia .

Un atlante orbifold di dimensione n è il dato simultaneo: $O$

di uno spazio di Hausdorff , chiamato spazio sottostante, ${\ displaystyle | O |}$
di una sovrapposizione aperta ( U i ) di , chiusa da intersezioni finite ${\ displaystyle | O |}$
per ogni indice , una carta composta (oltre a U i ) io{\ displaystyle i} $io$ (Uio,U~io,Γio,φio){\ displaystyle (U_ {i}, {\ tilde {U}} _ {i}, \ Gamma _ {i}, \ varphi _ {i})} ${\ displaystyle (U_ {i}, {\ tilde {U}} _ {i}, \ Gamma _ {i}, \ varphi _ {i})}$
- aperto da ${\ displaystyle {\ tilde {U}} _ {i}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
- di un'azione lineare fedele di un gruppo finito su ${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {U}} _ {i}}$
- di un omeomorfismo (
noteremo la mappa composita)φ~io:U~io/Γio→Uio{\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}} _ {i}: {\ tilde {U}} _ {i} / \ Gamma _ {i} \ to U_ {i}} ${\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}} _ {i}: {\ tilde {U}} _ {i} / \ Gamma _ {i} \ to U_ {i}}$ φio:U~io→Uio{\ displaystyle \ varphi _ {i}: {\ tilde {U}} _ {i} \ to U_ {i}} ${\ displaystyle \ varphi _ {i}: {\ tilde {U}} _ {i} \ to U_ {i}}$

tale che per ogni inclusione U i U j esiste un morfismo di gruppi iniettivi f ij : Γ i Γ j e un omeomorfismo ψ ij di in un insieme aperto di , chiamato mappa della colla , $\ subset$ $\ freccia destra$ ${\ displaystyle {\ tilde {U}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {U}} _ {j}}$

Γ i - equivariante (in) (relativamente a f ij )
compatibile con le mappe (es. φ j ψ ij = φ i )
unico fino alla traduzione (cioè che qualsiasi altra mappatura di V i in V j è della forma g · ψ ij per un unico g in Γ j ).

Due atlanti definiscono la stessa struttura orbifold se la loro unione è ancora un atlante.

Per una data struttura di orbifold, il sottogruppo di isotropia in ogni punto è interamente determinato (fino all'isomorfismo): è lo stabilizzatore del punto in qualsiasi mappa. Se U i U j U k , allora esiste un unico elemento di transizione g ijk in Γ k tale che ${\ displaystyle \ subset}$ ${\ displaystyle \ subset}$

g ijk · ψ ik = ψ jk · ψ ij .

Questi elementi di transizione vengono verificati

(Ad g ijk ) · f ik = f jk · f ij

e verificare inoltre il rapporto di cocycle (che ne garantisce l'associatività):

f km ( g ijk ) · g ikm = g ijm · g jkm .

Un punto il cui gruppo di isotropia non è banale è chiamato punto singolare o eccezionale. I punti non singolari formano un sottoinsieme denso.

Come nel caso delle varietà, imponendo condizioni di differenziabilità alle mappature di colla si ottiene la definizione di orbifold differenziabili . Si dice che sia Riemanniano se inoltre le mappe sono fornite con metriche Riemanniane invarianti e le mappe collanti sono isometrie.

Un morfismo tra due orbifolds e è una funzione continua tale che per ogni punto di ci sono le mappe e dove e e un'applicazione continua sopra che è equivalente rispetto ad una certa homomorphism di a . Un morfismo è chiamato liscio (risp. Immersione, sommersione) se tutti lo sono. Un'immersione che è un omeomorfismo sulla sua immagine è chiamata incorporamento. Un diffeomorfismo è un'inclusione suriettiva. $O$ ${\ displaystyle O '}$ ${\ displaystyle f: | O | \ to | O '|}$ $X$ $O$ ${\ displaystyle (U, {\ tilde {U}}, \ Gamma, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (U ', {\ tilde {U}}', \ Gamma ', \ varphi')}$ $x \ in U$ ${\ displaystyle f (U) \ subset U '}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}: {\ tilde {U}} \ to {\ tilde {U}} '}$ $f$ $\Gamma$ $\ Gamma '$ $f$ ${\ tilde f}$

Esempi

Qualsiasi varietà senza bordi è un orbifold senza un punto singolare.
Costruiamo il più delle volte un orbifold N come spazio quoziente di una varietà M (senza singolarità) da una discreta simmetria di questa. Se l'operazione di simmetria non ha un punto fisso allora sappiamo che il risultato è pur sempre una varietà, ma se invece esistono uno o più punti fissi allora il quoziente ha singolarità su ciascuno di questi ed è quindi "vero" un orbifold.
Ad esempio se consideriamo un cerchio S 1 (che è una varietà di dimensione 1) e lo parametrizziamo con un angolo $θ$ ∈ ℝ / $2π$ ℤ allora possiamo considerare le seguenti due involuzioni: ${\ displaystyle \ sigma _ {1}: \ theta \ mapsto \ theta + \ pi, \ qquad \ sigma _ {2}: \ theta \ mapsto - \ theta}$ .Allora $σ$ 1 , che è una traslazione di mezzo periodo, non ha un punto fisso. Il quoziente associato, annotato S 1 / $σ$ 1, è quindi ancora una varietà (e in effetti è ancora un cerchio).
D'altra parte $σ$ 2 ha due punti fissi in $θ$ = 0 e $θ = π$ . Il quoziente S 1 / $σ$ 2 non è quindi una varietà ma anzi un orbifold. È topologicamente equivalente a un segmento $[0, π]$ e le due estremità sono punti singolari: il loro sottogruppo di isotropia è ℤ / 2ℤ.
Se N è una varietà compatta al bordo, possiamo formare la sua doppia M incollando, lungo il loro bordo comune, una copia di N e la sua immagine speculare. ℤ / 2ℤ agisce naturalmente riflettendo su M fissando i punti di questo confine comune; lo spazio quoziente di questa azione è identificato con N , che è quindi dotato di una struttura naturale di orbifold (i suoi punti singolari sono i punti del bordo di N e il loro gruppo di isotropia è ℤ / 2ℤ).
Più in generale, se M è una varietà Riemanniana dotata di un'azione isometrica cocompatta propria di un gruppo discreto Γ, allora lo spazio quoziente N = M / Γ è naturalmente dotato di una struttura orbifold. Si dice che gli orbifold ottenuti in questo modo siano sviluppabili o buoni .
Nella dimensione 2, l'esempio più semplice è quello del quoziente di un disco aperto dall'azione di una rotazione di ordine finito. Il risultato è topologicamente un disco ma la sua struttura orbifold include un punto singolare il cui sottogruppo di isotropia è ciclico (si dice che la singolarità sia conica).
Il primo esempio di superficie orbifold che non è il quoziente di un collettore liscio si ottiene tagliando un disco sulla sfera S 2 e sostituendolo con un disco con singolarità conica come sopra. Possiamo generalizzare questo modo di costruire orbifold sostituendo la sfera con qualsiasi superficie compatta senza bordo e tagliando un numero finito di dischi.

Rivestimenti e gruppo fondamentale

Essendo gli orbifold introdotti in particolare per dare una struttura al quoziente di una varietà dall'azione di un gruppo finito, si vuole poter dire che se è una varietà su cui agisce un gruppo finito allora la mappa è una copertura e quella se è semplicemente connesso allora il quoziente orbifold ha per gruppo fondamentale . $M$ $G$ ${\ displaystyle M \ to M / G = O}$ $M$ $G$

Rivestimenti

Una copertura di un orbifold con un orbifold è una mappa continua tale che ogni punto di ammette un quartiere soddisfacente: ogni componente connesso di ammette una mappa tale che sia una mappa di . $O$ ${\ displaystyle {\ bar {O}}}$ ${\ displaystyle p: | {\ bar {O}} | \ to | O |}$ $X$ $O$ $U$ $V$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle \ varphi: {\ tilde {V}} \ to V}$ ${\ displaystyle p \ circ \ varphi}$ $O$

Tenere presente che l'applicazione generalmente non è una copertura tra spazi topologici. $p$

Si chiama rivestimento universale di un rivestimento come per qualsiasi rivestimento c'è un rivestimento come . Secondo un teorema di Thurston, ogni orbifold ha una copertura universale che è unica fino al diffeomorfismo. $O$ ${\ displaystyle p: | {\ hat {O}} | \ to | O |}$ ${\ displaystyle q: | {\ bar {O}} | \ to | O |}$ ${\ displaystyle r: | {\ hat {O}} | \ to | {\ bar {O}} |}$ ${\ displaystyle p = q \ circ r}$

Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di un orbifold è il gruppo degli automorfismi del suo rivestimento universale, cioè i diffeomorfismi di tale quello . Lo notiamo e lo abbiamo . ${\ hat O}$ ${\ displaystyle p \ circ f = p}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (O)}$ ${\ displaystyle O = {\ hat {O}} / \ pi _ {1} (O)}$

Collegamento con la congettura di Thurston

La congettura di geometrizzazione di Thurston dice, grosso modo, che qualsiasi collettore compatto regolabile in tre dimensioni può essere tagliato in un numero finito di pezzi con una struttura geometrica. Nel caso in cui la varietà ammetta un'azione non libera di un gruppo finito, è sufficiente fornire al quoziente orbifold una struttura geometrica quindi riassemblare questa sulla varietà di partenza. Questo è il motivo per cui era importante comprendere gli orbifold perché, paradossalmente, è più facile fornire un orbifold (non liscio) con una struttura geometrica che farlo per una varietà generale liscia.

Inoltre, gli orbifold bidimensionali possono svolgere il ruolo di basi di fasci in cerchi chiamati fasci di Seifert e che giocano un ruolo importante come pezzi della decomposizione di Thurston (la definizione di fascio sopra un orbifold è adattata di quella riguardante le varietà da un approccio simile a quello utilizzato sopra per i rivestimenti).

Applicazioni alla teoria delle stringhe

Collegamento con gli spazi di Calabi-Yau

Quando nel superstringhe teoria si cerca di costruire realistici fenomenologici modelli , è necessario eseguire una riduzione dimensionale perché superstringhe propagano naturalmente in una 10- dimensionale spazio mentre lo spazio-tempo del universo osservabile ha solo 4 dimensioni visibili. I vincoli formali della teoria impongono tuttavia restrizioni allo spazio di compattificazione in cui sono nascoste le dimensioni aggiuntive. Se stiamo cercando un modello quadridimensionale realistico che abbia la supersimmetria, lo spazio di compattificazione deve essere uno spazio di Calabi-Yau quindi avente 6 dimensioni.

Ci sono infinite possibilità per diverse varietà di Calabi-Yau (decine di migliaia, in effetti). Il loro studio generale è matematicamente molto complesso e per molto tempo è stato difficile costruirne molti in modo esplicito. Gli orbifold sono poi molto utili perché quando soddisfano i vincoli imposti dalla supersimmetria di cui abbiamo parlato, costituiscono esempi di Calabi-Yau degeneri, per la presenza di singolarità , ma comunque del tutto accettabili dal punto di vista della teoria fisica. . Tali orbifold vengono quindi definiti supersimmetrici . Il vantaggio di considerare gli orbifold supersimmetrici piuttosto che il generale Calabi-Yau è che la loro costruzione è in pratica molto più semplice da un punto di vista puramente tecnico.

È quindi molto spesso possibile, come vedremo più avanti, mettere in relazione un orbifold supersimmetrico che possiede singolarità a una famiglia continua di spazi di Calabi-Yau senza singolarità.

Caso di T 4 / Z 2 e K3

Lo spazio K3 ha 16 cicli di dimensione 2 che sono topologicamente equivalenti alle sfere usuali. Se facciamo tendere la superficie di queste sfere verso 0 allora K3 sviluppa 16 singolarità (questo limite è al bordo dello spazio del modulo di questa varietà). È a questo limite singolare che corrisponde l'orbifold ottenuto quotando il 4-toro dalla simmetria di inversione di ciascuna delle coordinate (cioè in ogni direzione). ${\ displaystyle T ^ {4} / \ mathbb {Z} _ {2} \,}$ ${\ displaystyle x \ rightarrow -x \,}$

Simmetria speculare

La simmetria speculare è un concetto la cui idea è stata creata nel 1988. Dice che due spazi di Calabi-Yau portano alla stessa fisica se il loro numero totale di buchi in tutte le dimensioni è uguale. Ciò significa che anche se il loro numero di fori non è uguale per dimensioni, portano alla stessa fisica se il loro numero totale di fori è identico. Dovrebbe essere compreso, dalla stessa fisica , che Calabi-Yau con lo stesso numero di buchi in totale conduce a un universo con lo stesso numero di famiglie .

Chirurgia

Questa tecnica è stata inventata negli anni '80 da Dixon, Vafa, Witten e Harvey. L'operazione orbifold consiste nel creare una nuova forma di Calabi-Yau collegando diversi punti del Calabi-Yau iniziale. È un metodo per manipolare matematicamente gli spazi di Calabi-Yau collegando alcuni di questi punti. Ma queste manipolazioni sono così complicate che i fisici non hanno considerato di riprodurlo su una forma complicata come uno spazio di Calabi-Yau in tutto il suo splendore.

L'operazione orbifold non è una transizione geometrica come la transizione flop o la transizione conifold che causa cataclismi mostruosi come squarci nello spazio-tempo.

Conseguenze

Individuando così alcuni punti, lo spazio di Calabi-Yau di "partenza" (che chiameremo α ) e quello di "arrivo" (che chiameremo β ) diversi per il loro numero di buchi in ogni dimensione: i buchi del coppie di dimensioni ( 2 e , 4 e , 6 e dimensione) Calabi-Yau β era uguale al numero di fori nelle dimensioni dispari ( 1 st , 3 e , 5 e ) di Calabi-Yau α e viceversa! Ma questo vuol dire che il numero totale di buchi non cambia. Ma questa inversione da pari a dispari si traduce in strutture geometriche molto distinte.

Note e riferimenti

la parola di origine inglese è una variazione di molteplice che è la traduzione di varietà ; si potrebbe forse tradurlo per varietà arrotolata .
(in) William Thurston , The Geometry and Topology of Three-Manifolds , Capitolo 13 , Princeton University lecture notes (1978-1981)
Questa ipotesi di esistenza di supersimmetria in domini ad alta energia , cioè oltre una scala tra e GeV approssimativamente, mentre sarebbe rotta alle nostre scale attuali, è cioè sotto la scala elettrodebole, cioè intorno a GeV, dovrebbe essere verificata nell'ambito degli esperimenti da svolgere presso l' LHC , commissionato nel 2008. ${\ displaystyle \ scriptstyle {10 ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {10 ^ {3}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {10 ^ {2}}}$

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Orbifold " ( vedere l'elenco degli autori ) .