Un operatore è, in meccanica quantistica , una mappa lineare di uno spazio di Hilbert in sé. Il termine è una specializzazione del concetto matematico di operatore . Un osservabile è un operatore Hermitiano .
Nella meccanica classica, il moto delle particelle (o di un sistema di particelle) è completamente determinato dalla Lagrangiana o, equivalentemente, dall'Hamiltoniana , funzione delle coordinate generalizzate q , velocità generalizzata e suo momento coniugato :
Se L o H è indipendente dalle coordinate generalizzate q , così che L e H non cambiano in funzione di q , il momento coniugato di queste coordinate sarà preservato (questo fa parte del teorema di Noether , e l'invarianza del moto rispetto della coordinata q è una simmetria ). Gli operatori della meccanica classica sono legati a queste simmetrie.
Più tecnicamente, quando H è invariante sotto un certo gruppo di trasformazioni G :
.gli elementi di G sono operatori fisici, che collegano gli stati fisici tra di loro.
Trasformazione | Operatore | Posizione | Momento |
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Simmetria di traduzione | |||
Simmetria traslazionale temporale | |||
Invarianza di rotazione | |||
Le trasformazioni di Galileo | |||
Parità | |||
Simmetria T |
dove è la matrice di rotazione attorno a un asse definito dal vettore unitario e dall'angolo θ .
Se la trasformazione è infinitesimale, l'operatore di azione deve essere della forma
dove è l'operatore di identità, è il parametro con un valore piccolo e dipenderà dalla trasformazione della mano ed è chiamato generatore di gruppi . Deriviamo il generatore di spazio traslazionale unidimensionale come esempio.
Come accennato, . Se è infinitesimale, dobbiamo scrivere
Questa equazione può essere riscritta in modo tale
dove è il generatore di gruppi di traduzione, che in questo caso è l'operatore di derivazione .
L'intero gruppo può essere ricostruito, in circostanze normali, dal generatore, dalla mappa esponenziale . Nel caso della traduzione, l'idea funziona come segue.
La traduzione di un valore finito di può essere ottenuta mediante l'applicazione ripetuta della traduzione infinitesimale:
con la rappresentazione dei tempi di applicazione . Se è grande, ciascuno dei fattori può essere considerato infinitesimale:
Ma il limite può essere riscritto in modo esponenziale:
Per convincersi della validità di questa espressione formale, l'esponenziale può essere sviluppato in una serie di potenze:
La parte destra può essere riscritta come segue:
w Qual è l'espansione di Taylor , che è il valore originale di .
Le proprietà matematiche degli operatori sono un argomento importante in sé. Per ulteriori informazioni, vedere C * -algebra e il teorema di Gelfand-Naimark .
I postulati della meccanica quantistica sono costruiti sul concetto di operatore.
Uno stato in meccanica quantistica è rappresentato da un vettore unitario (la probabilità totale è uguale a uno) in uno spazio di Hilbert complesso . L' evoluzione temporale in questo spazio vettoriale è data dall'applicazione dell'operatore di evoluzione temporale .
Tutte le osservabili , cioè una quantità che può essere misurata da un esperimento, devono essere associate a un operatore lineare autoaggiunto . L'operatore deve produrre autovalori reali, poiché deve corrispondere alle misure sperimentali. Per questo, l'operatore deve essere Hermitiano . La probabilità che questi autovalori vengano osservati è legata alla proiezione dello stato fisico sul sottostato corrispondente a questi autovalori.