In matematica , un numero primo Ramanujan è un numero primo che soddisfa un risultato dimostrato da Srinivasa Ramanujan relativo alla funzione di conteggio dei numeri primi .
Nel 1919 , Ramanujan pubblicò una nuova dimostrazione del postulato di Bertrand che, dice, fu dimostrato per la prima volta da Chebyshev . Alla fine delle due pagine pubblicate, Ramanujan ha dedotto un risultato generalizzato, che è:
≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... per ogni x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... Suite A104272 del OEIS rispettivamente,dove (x) è la funzione di conteggio dei numeri primi, che è il numero di numeri primi minori o uguali a x .
L'espressione di questo risultato è la definizione di Ramanujan di numeri primi, ei numeri 2, 11, 17, 29, 41 sono i numeri primi conformi a questa definizione. In altre parole :
Il n ° prima Ramanujan rappresenta l'intero R n che è il più piccolo per soddisfare la condizione ≥ n , per ogni x ≥ R n .Un altro modo per porre questo risultato è:
I numeri primi di Ramanujan sono gli interi R n che sono i più piccoli per garantire che ci siano n primi tra x e x / 2 per ogni x ≥ R n .Poiché R n è il numero più piccolo conforme a queste condizioni, deve essere primo: e quindi deve aumentare ottenendo un altro numero primo x = R n . Poiché può aumentare di almeno 1,
R n R n .I primi elementi della sequenza dei numeri primi di Ramanujan sono:
2 , 11 , 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, ecc.
Per tutti gli n ≥ 1,
2 n ln 2 n < R n <4 n ln 4 nSe n > 1, allora
p 2n < R n < p 3n ,dove p n è l' n- esimo numero primo.
Se n tende all'infinito, R n è uguale a 2 n esimo primo, cioè,
R n ~ p 2n ,e quindi, usando il teorema dei numeri primi ,
R n ~ 2 n ln n .Tutti questi risultati sono dimostrati nel libro "I numeri primi di Ramanujan e il postulato di Bertrand ", eccetto la suddetta disuguaglianza R n < p 3n , congetturata da Jonathan Sondow e dimostrata da Shanta Laishram.