Pell Suite
In matematica , la sequenza di Pell e la sequenza di Pell-Lucas sono rispettivamente le sequenze di interi U (2, -1) e V (2, -1), un caso speciale delle sequenze di Lucas .
La prima è anche la 2-sequenza di Fibonacci .
I loro termini sono chiamati rispettivamente numeri di Pell e numeri di Pell-Lucas.
Definizioni
La sequenza Pell e la sequenza Pell- Lucas sono definite dalla doppia induzione lineare :
(Pnon){\ displaystyle (P_ {n})} (Qnon){\ displaystyle (Q_ {n})}
Pnon={0per non=0,1per non=1,2Pnon-1+Pnon-2per non≥2etQnon={2per non=0,2per non=1,2Qnon-1+Qnon-2per non≥2.{\ displaystyle P_ {n} = {\ begin {case} 0 & {\ mbox {for}} n = 0, \\ 1 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2P_ {n-1} + P_ {n-2} & {\ mbox {for}} n \ geq 2 \ end {cases}} \ quad {\ rm {e}} \ quad Q_ {n} = {\ begin {cases} 2 & { \ mbox {for}} n = 0, \\ 2 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2Q_ {n-1} + Q_ {n-2} & {\ mbox {for}} n \ geq 2. \ end {case}}}In altre parole: iniziamo con 0 e 1 per la prima sequenza e con 2 e 2 per la seconda, e in ciascuna delle due sequenze produciamo il termine successivo aggiungendo due volte l'ultimo alla penultima.
Possiamo anche scrivere: e dove e sono rispettivamente i polinomi di Fibonacci e Lucas di indice .
Pnon=Fnon(2){\ displaystyle P_ {n} = F_ {n} (2)}Qnon=Lnon(2){\ displaystyle Q_ {n} = L_ {n} (2)}Pnon{\ displaystyle P_ {n}}Lnon{\ displaystyle L_ {n}}non{\ displaystyle n}
Alcuni valori
I primi dieci numeri di Pell sono 0, 1, 2, 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 e 985 ei primi dieci numeri di Pell-Lucas sono 2, 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , 1154 e 2786 (per i primi 1000, vedere le suite A000129 e A002203 di OEIS ).
L' sono tutti i coetanei a volte è piuttosto chiamati numeri Pell-Lucas.
Qnon{\ displaystyle Q_ {n}}Qnon/2{\ displaystyle Q_ {n} / 2}
La sottosequenza dei termini primi della sequenza di Pell è formata dai numeri
2 ,
5 ,
29 ,
5 741 , ecc. (per i primi 23 termini, vedere
A086383 )
e gli indici corrispondenti (necessariamente primi) sono
2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, ecc. (per i primi 31, vedere
A096650 ).
Termine generale
I termini generali di queste due sequenze sono dati rispettivamente dalle formule:
Pnon=Unon(2,-1)=(1+2)non-(1-2)non22etQnon=Vnon(2,-1)=(1+2)non+(1-2)non.{\ displaystyle P_ {n} = U_ {n} (2, -1) = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}} {2 {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ rm {e}} \ quad Q_ {n} = V_ {n} (2, -1) = (1 + {\ sqrt { 2}}) ^ {n} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}.}
Collegamento con il numero di soldi
Le potenze successive del numero d'argento 1 + √ 2 sono quindi vicine ai numeri di Pell-Lucas quando è grande. Per esempio :
non{\ displaystyle n}
(1+2)2≃5,8≃6=Q2,{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2} \ simeq 5 {,} 8 \ simeq 6 = Q_ {2},}
(1+2)4≃33,97≃34=Q4,{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4} \ simeq 33 {,} 97 \ simeq 34 = Q_ {4},}
(1+2)8≃1153.999≃1154=Q8{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {8} \ simeq 1153 {,} 999 \ simeq 1154 = Q_ {8}}
e per tutto , dove denota l' intera parte superiore .
non⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}Qnon=⌈(1+2)non⌉{\ displaystyle Q_ {n} = \ left \ lceil (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} \ right \ rceil}⌈.⌉{\ Displaystyle \ left \ lceil. \ right \ rceil}
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Pell number " ( vedi la lista degli autori ) .
-
(a) Thomas Koshy, Pell e Pell-Lucas Numbers with Applications , New York, NY, Springer ,2014( ISBN 978-1-4614-8489-9 , leggi in linea ).
Vedi anche
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