metrica riemanniana

In geometria differenziale , la metrica riemanniana è la nozione di base della geometria riemanniana . La prima introduzione fu data da Bernhard Riemann nel 1854. Tuttavia, il suo articolo sull'argomento fu pubblicato dopo la sua morte nel 1868. Nello stesso anno, Hermann von Helmholtz pubblicò risultati simili.

Le metriche riemanniane sono famiglie differenziabili di forme quadratiche definite positive .

Definizioni

Su un fibrato vettoriale E → M , una metrica Riemanniana g è il dato di un prodotto scalare g x su ciascuna fibra E x che dipende da quanto liscio il punto base x variando M . Più formalmente, x↦g x è una sezione in qualsiasi punto definito positivo del fibrato vettoriale S 2 E → M di forme bilineari simmetriche. Diciamo che il dato ( E, g ) è un fibrato Riemanniano .

Per due fibrati Riemanniani ( E, g ) e ( F, g ' ) su M , un morfismo fibrato Riemanniano f :( E, g ) → ( E, g' ) è un morfismo fibrato vettoriale f: E → E ' tale che , per ogni punto x di M , l'applicazione lineare f x : E x → F x è un'isometria lineare , cioè:

\ forall v, w \ in E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Se M è una varietà differenziale, una metrica riemanniana su M è semplicemente una metrica riemanniana sul suo fibrato tangente . Il dato ( M, g ) è una varietà Riemanniana .

Date due varietà Riemanniane ( M, g ) e ( N, g ' ), un'isometria F :( M, g ) → ( N, g' ) è un'applicazione differenziabile F: M → N tale che l'applicazione tangente dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) è un morfismo di fibrati Riemanniani. Quest'ultima condizione viene riscritta: F * g '= g .

Esempi

Qualsiasi prodotto scalare su ℝ n induce su qualsiasi fibrato vettoriale banale M × ℝ n → M una metrica Riemanniana: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Sia g una metrica Riemanniana su E → M e P una varietà. Per una funzione differenziabile ψ: P → M , esiste sul fibrato vettoriale arretratoFibra indotta ψ * E → P un'unica metrica Riemanniana ψ * g tale che il morfismo naturale ψ * E → E sia un isomorfismo dei fibrati Riemanniani.
Se g è una metrica Riemanniana su E → M , allora per restrizione , g definisce una metrica Riemanniana su qualsiasi sottogruppo vettoriale di E .
Il limite della metrica di Minkowski quando c tende all'infinito è una metrica dei fibrati. Il tempo diventa assoluto e lo spazio-tempo è fibra sopra, troviamo la trasformazione di Galileo . In due momenti diversi la metrica è la differenza dei tempi. Allo stesso tempo, in una fibra di spazio isomorfa a , la metrica è il solito prodotto scalare. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Esistenza

Su ogni fibrato vettoriale di base paracompatto esiste una metrica riemanniana.

Dimostrazioni

Prova tramite una partizione dell'unità.

Per ogni U di M aperto sufficientemente piccolo , il fibrato vettoriale π -1 ( U ) → U è banalizzabile. Tuttavia, dall'alto, ogni fibrato vettoriale banalizzabile ammette una metrica Riemanniana. Quindi, esiste una metrica Riemanniana g U su π -1 ( U ).

Usando la paracompacità di M , esiste una sovrapposizione numerabile ( U n ) n ∈ℕ di M tale che, per ogni intero n , esiste una metrica Riemanniana g n sul fibrato vettoriale π -1 ( U n ) → U n . Sia (ϕ n ) n ∈ℕ una partizione dell'unità subordinata a ( U n ) n ∈ℕ . La mappa x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ) è una sezione globale di S 2 π -1 ( U n ) → U n zero nell'intorno del confine ∂ U n . È esteso da una sezione globale di S 2 E → M , impropriamente indicata da x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ). ${\ stile di visualizzazione 0}$

Chiediamo quindi:

g = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. È una sezione di S 2 E → M , ed è ben definita positiva in ogni punto di M : se appartiene all'interno del supporto di , e per ogni vettore diverso da zero di ,

X

X

\ phi_ {n}

v

Ex}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Dimostrazione tramite inclusione.

Esiste un fibrato vettoriale F → M tale che E ⊕ F → M è banalizzabile. Utilizzato a questo livello la paracompattezza di M . Quindi esiste una metrica Riemanniana su E ⊕ F → M che si limita a una metrica Riemanniana su E → M .

Sebbene apparentemente più breve, questo secondo argomento nasconde la difficoltà dell'esistenza di . Questa esistenza fa appello anche a un argomento di partizione unitaria . $F$

In particolare :

Su ogni varietà differenziale paracompatta esiste una metrica riemanniana.

Vedi anche