Mediana (geometria)

Nel suo senso più comune, una mediana designa, in un triangolo , una linea che unisce uno dei tre vertici del triangolo al centro del lato opposto.

Per estensione, nella geometria piana , le mediane di un quadrilatero sono i segmenti che collegano i punti medi di due lati opposti.

Infine, nella geometria nello spazio , le mediane di un tetraedro sono le linee che passano per un vertice del tetraedro e per l' isobarycenter degli altri tre.

Geometria del triangolo

In un triangolo ABC , la mediana dal vertice A è la linea ( AI ) dove I indica il punto medio del segmento [ B , C ]. Il termine mediana a volte designa il segmento [ A , I ] piuttosto che la linea ( AI ).

Ogni mediana separa il triangolo ABC in due triangoli di aree uguali: l'area del triangolo ABI è uguale all'area del triangolo ACI .

Dimostrazione

Considera i due triangoli ABI e ACI .

Chiamiamo H la proiezione ortogonale del punto A sulla retta ( BC ).

Poiché I è il punto medio del segmento [ BC ], abbiamo BI = CI . In un triangolo, la mediana di un lato è la linea che passa per il centro di quel lato e per il vertice del suo angolo.

L'area del triangolo ABI è uguale a . L'area del triangolo ACI è uguale a . Poiché BI = CI , queste due aree sono uguali. $\ frac {BI \ times AH} {2}$ ${\ displaystyle {\ frac {CI \ times AH} {2}}}$

Dimostriamo allo stesso modo che le mediane ottenute da B e C verificano questa proprietà.

Un altro modo elementare per dimostrarlo è notare che questi due triangoli sono le metà di due parallelogrammi di lato comune ( AI ) e traslati l' uno dall'altro.

Teorema della mediana

Nel triangolo ABC , se I è il punto medio di [ BC ] allora Questa uguaglianza è una conseguenza immediata della definizione di I come isobarycenter di B e C (vedi § “Riduzione” dell'articolo sul baricentro ). ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}} = 2 {\ overrightarrow {AI}}.}$

Il " primo teorema della mediana " lo afferma

{\ displaystyle AB ^ {2} + AC ^ {2} = {1 \ over 2} BC ^ {2} + 2AI ^ {2}.}

Fu enunciato da Apollonio di Perga e da Talete .

Isobarycenter

Le tre mediane di un triangolo sono concorrenti. Il loro punto di intersezione è il centro isobario dei tre vertici, spesso indicato come "centro di gravità del triangolo". Si trova a due terzi di ciascuna mediana dal vertice corrispondente. Questo isobarycenter G soddisfa la relazione vettoriale:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}$

Dimostrazione

Il punto medio I di [ B, C ] è definito dall'equazione vettoriale:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {BI}} + {\ overrightarrow {CI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

L'isobaricentro G dei tre punti A , B e C è definito dall'equazione vettoriale:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Da queste due equazioni, deduciamo:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + 2 {\ overrightarrow {GI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Quindi G , A e I sono allineati, in altre parole G appartiene alla mediana ( AI ). Mostriamo anche che appartiene alle altre due mediane. Le tre mediane sono quindi molto concorrenti. (Possiamo anche vedere questa proprietà come un caso speciale del teorema di Ceva .)

C'è un'altra prova, che non utilizza la conoscenza del vettore.

Dimostrazione

Consideriamo qualsiasi triangolo ABC ei punti I , J e K , rispettivi punti medi di [ AB ], [ AC ] e [ BC ], e G il punto di intersezione delle mediane ( CI ) e ( AK ) (mostriamo tramite un ragionando per assurdità che G sia ben definito perché le tre mediane si intersecano a due a due).

Let D simmetrico al G rispetto al I . Allora AGBD è un parallelogramma quindi ( BD ) è parallelo a ( AG ), cioè a ( KG ). In altre parole: G appartiene al parallelo a ( BD ) passante per il punto medio di [ BC ]. Poiché appartiene anche a ( CD ), deduciamo, dal teorema di Talete , che G è il punto medio di [ CD ]. Per definizione di D , il punto G si trova [ CI ], due terzi da C .

In sintesi, il punto di intersezione di ( CI ) e ( AK ) è in [ CI ], due terzi da C .

Con lo stesso ragionamento, l'intersezione di ( CI ) e ( BJ ) è in questo stesso punto. Le tre mediane del triangolo sono quindi molto concorrenti.

Possiamo costituire qui una prova caso particolare usiamo, cioè della inverso del teorema punto medio , che ristabilisce l'uguaglianza dei ruoli tra le due mediane considerati: Lasciato E sia simmetrico di G rispetto a K . Così come ( BD ) è - come abbiamo visto - parallela a ( AG ), la linea ( BE ) è parallela a ( CG ), in altre parole: il quadrilatero BDGE ha i lati opposti paralleli a due a due. È quindi un parallelogramma, per cui DG = BE = GC .

Particolarità

Ogni mediana di un triangolo, risultante da un vertice ( A per esempio) forma con i due lati adiacenti del triangolo e il parallelo passante per A al lato opposto un fascio armonico

Le due linee che collegano un vertice al centro di ciascuna mediana dagli altri due vertici, tagliano il lato opposto in tre parti uguali.

L'ellisse più grande inscritta in un triangolo ( ellisse di Steiner ) è tangente ai lati del triangolo ai piedi delle mediane.

In ogni triangolo, la somma dei quadrati delle lunghezze delle tre mediane , ed è uguale a tre quarti della somma dei quadrati dei lati: $mia}$ $m_ {B}$ ${\ displaystyle m_ {C}}$

{\ displaystyle m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2} = {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ { 2} + c ^ {2})}

. Dimostrazione

Scrivendo il teorema della mediana tre volte per la lunghezza di ciascuna mediana

{\ displaystyle 2m_ {A} ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - {\ frac {1} {2}} a ^ {2}}

{\ displaystyle 2m_ {B} ^ {2} =}

...,

{\ displaystyle 2m_ {C} ^ {2} =}

...,

la somma dà . ${\ displaystyle 2 (m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2}) = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ { 2}) - {\ frac {1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}$

Dividendo per 2, troviamo la formula per semplificazione.

Mediana in particolari triangoli

In un triangolo isoscele , la mediana relativa alla base del triangolo è un asse di simmetria del triangolo. Considerate come segmenti, le altre due mediane sono di uguale lunghezza. Viceversa se in un triangolo due mediane hanno la stessa lunghezza, il triangolo è isoscele.

In un triangolo rettangolo , la mediana dal vertice dell'angolo retto misura metà dell'ipotenusa. Viceversa, se in un triangolo la lunghezza di una mediana è uguale alla metà della lunghezza del lato corrispondente, il triangolo è rettangolo.

In un triangolo, le mediane da B e C sono ortogonali se e solo se abbiamo la seguente relazione tra i lati del triangolo: $b 2 + c 2 = 5 a 2$ .

Se la mediana AM = , le altre due mediane sono ortogonali. ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} a}$

Mediane in un quadrilatero

Le mediane del quadrilatero sono i segmenti che collegano i punti medi dei lati opposti.

Le mediane sono le diagonali del parallelogramma di Varignon , si intersecano nei loro punti medi.
L'associatività dei baricentri permette anche di giustificare che il punto medio delle mediane è l' isobaricentro dei vertici del quadrilatero. A differenza del caso del triangolo, questo isobariocentro dei vertici non coincide con il centro di massa .

Geometria, nello spazio

Nella geometria nello spazio, si chiamano le mediane di un tetraedro le linee che uniscono uno dei vertici del tetraedro e l'isobariocentro degli altri tre. Ci sono quindi quattro mediane in un tetraedro. Si intersecano in un punto che è il centro isobario dei quattro vertici (vedi teorema di Commandino (de) ). Lo stesso vale per i tre bimediani (che uniscono i punti medi di due bordi opposti).

Tutte queste proprietà (del triangolo, del quadrilatero e del tetraedro) sono casi speciali del seguente teorema, conseguenza dell'associatività del baricentro:

Sia S un insieme finito di punti di uno spazio affine . Chiamiamo mediana di S qualsiasi segmento che unisce gli isobarycenters di due parti non vuote di S complementari tra loro. Quindi tutti mediana S si intersecano nel isobarycenter S .

(Si può anche specificare, in base al quoziente dei numeri di punti delle due parti, la posizione dell'isobarycenter sul segmento considerato.)

In un tetraedro regolare (tutte le cui facce sono triangoli equilateri), le mediane sono anche le altezze. Diciamo che questo tetraedro è ortocentrico (in) , perché le sue altezze sono concorrenti (questo non è il caso, in generale, in un tetraedro, a differenza di un triangolo).

La molecola di metano CH 4 illustra questo caso: i vertici sono occupati da atomi di idrogeno; l'atomo di carbonio si trova dove si incontrano le mediane.

Riferimenti

Pierre-François Compagnon, Elementi di geometria , Gauthier-Villars ,1868( leggi in linea ) , p. 55-56, § 121.
Per la prova dell'equivalenza usando il teorema della mediana vedi l'Esercizio 4.42 di questo documento .
(in) Maria Flavia Mammana, Biagio Micale e Mario Pennisi, " Sui centroidi dei Poligoni e dei Poliedri " , Forum Geometricorum , vol. 8,2008, p. 121-130 ( leggi in linea ).
(in) Robert B. Kirchner, " Teorema della mediana per i poligoni " sul Wolfram Demonstrations Project .