Centro di massa di una piastra omogenea

In meccanica , il centro di massa di una piastra omogenea è il punto rispetto al quale la massa è distribuita uniformemente. In pratica, nel caso di un campo di gravità uniforme il baricentro viene confuso con il baricentro della piastra.

Il centro di massa di una piastra omogenea può essere calcolato utilizzando il calcolo integrale ma esistono semplici regole che consentono di trovare direttamente il baricentro di piastre la cui forma geometrica è notevole utilizzando lo strumento geometrico del baricentro .

Determinazione sperimentale

Questo metodo è utile quando si desidera trovare il centro di gravità di un oggetto piatto la cui forma è complessa e le cui dimensioni esatte non sono note.

Passaggio 1: un piatto di forma arbitraria.
Passaggio 2: sospendere la piastra in un punto vicino a un vertice e raggiungere la posizione di equilibrio. Utilizzando un filo a piombo , traccia la verticale che passa per questo punto.
Passaggio 3: appendi il piatto in un altro punto e disegna una seconda verticale. Il centro di gravità si trova all'intersezione delle due linee.

Principi di calcolo

Centro di massa di un triangolo

Se la piastra omogenea ha la forma di un triangolo, il suo centro di massa corrisponde all'intersezione delle mediane. È quindi anche il centro isobario dei vertici. Questa situazione è abbastanza singolare da essere notata.

In generale, il centro di massa di una piastra poligonale omogenea non coincide con il centro isobario dei suoi vertici. D'altra parte, qualsiasi poligono può essere ritagliato in triangoli, si può così facilmente determinare il centro di gravità di ogni sottoparte.

Inoltre, qualsiasi triangolo può essere scomposto in due triangoli rettangoli: è quindi sufficiente considerare un'altezza di questo triangolo. Il centro di gravità di un triangolo rettangolo è un terzo dei lati dell'angolo retto. Questa proprietà facilita il calcolo.

Elementi di simmetria

Se la piastra omogenea ha un asse di simmetria, il centro di massa si trova su questo asse. Per corollario, da due assi di simmetria, il centro di massa si trova alla loro intersezione.

Se la piastra omogenea è invariante per rotazione di un angolo non banale, il suo centro di massa coincide con il suo centro di rotazione. In particolare, se la piastra omogenea ha un centro di simmetria, questo è anche il suo centro di massa.

Il centro di massa di un parallelogramma è quindi l'intersezione delle sue diagonali. Il centro di massa di un cerchio o di un'ellisse coincide con il loro centro.

Principio di addizione e sottrazione

Una piastra omogenea composta da due piastre e rispettivi centri di massa e ha per centro di massa il baricentro dei punti e pesata dalle aree delle piastre e . $P _ {{1}}$ $P _ {{2}}$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ $P _ {{1}}$ $P _ {{2}}$

Una piastra omogenea composta da una piastra , centro di massa e area , da cui è stata rimossa una piastra di centro di massa e area , ha per centro di massa il baricentro dei punti e ponderata dai reali e . $P$ $G$ $a$ $P _ {{1}}$ $G _ {{1}}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $G$ $G _ {{1}}$ $a$ ${\ displaystyle -a_ {1}}$

Il centro di massa di una piastra poligonale può quindi essere determinato tagliando il poligono in triangoli, costruendo il centro di massa di ogni triangolo e calcolando ciascuna delle loro aree , il centro di massa è quindi il baricentro del sistema pesato . Vedremo negli esempi che possiamo anche fare a meno del calcolo delle aree utilizzando le proprietà di allineamento. ${\ displaystyle G_ {i}}$ $avere}$ ${\ displaystyle {(G_ {i}, a_ {i})}}$

Calcolo integrale

Se la piastra è dotata di un sistema di coordinate ortonormali, l'ascissa e l'ordinata del centro di massa possono essere calcolate utilizzando un calcolo integrale . Se chiamiamo la lunghezza totale della sezione della piastra con la linea dell'ascissa , e se è l'area della piastra, l'ascissa del centro di massa è data dalla formula $l (x)$ $X$ $a$

{\ displaystyle x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {1} {a}} \ int x \ cdot l (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {\ int x \ cdot l ( x) \ mathrm {d} x} {\ int x \ cdot \ mathrm {d} x}}}

A volte è necessario o più conveniente ricorrere a più integrali .

Costruzioni di centri di massa e forma

Mettere in pratica i principi

Centro di massa di una piastra a forma di L.

La piastra a forma di L è formato da due rettangoli con centri ed e zona e . Il baricentro della piastra è quindi il baricentro di , si trova tra e e verifica: $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ ${\ displaystyle {(G_ {1}, a_ {1}) (G_ {2}, a_ {2})}}$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$

{\ displaystyle \ mathrm {G_ {1} G} = {\ frac {a_ {2}} {a_ {1} + a_ {2}}} \ mathrm {G_ {1} G_ {2}}}

Nel disegno sotto, il rettangolo piccolo è due volte più piccolo di quello grande, quindi la distanza è 1/3 della distanza . ${\ displaystyle G_ {1} G}$ ${\ displaystyle G_ {1} G_ {2}}$

Notare che il punto è allineato con e . Questa proprietà permette di evitare il calcolo delle superfici: è sufficiente immaginare due differenti tagli del piatto. Il punto essendo situato sulla linea oltre che sulla linea , corrisponde quindi al punto di intersezione di queste due linee. Ciò è facilmente realizzabile per la piastra a L in quanto può essere tagliata in due rettangoli in due modi diversi. $G$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ $G$ ${\ displaystyle (G_ {1} G_ {2})}$ ${\ displaystyle (G_ {3} G_ {4})}$

Centro di massa dopo un primo taglio.
Centro di massa secondo le due divisioni.

Centro di massa di una placca quadrilatera

La piastra può essere tagliata lungo una diagonale in due triangoli i cui centri di massa e sono facili da costruire. Il centro di massa della piastra viene quindi allineato con questi due punti. $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$

Un altro taglio della piastra lungo l'altra diagonale fornisce un altro allineamento.

Il centro di massa è quindi il punto di intersezione delle linee e . Si noti che questo punto non coincide con il centro isobario dei vertici che sarebbe il punto medio dei punti medi delle diagonali. ${\ displaystyle (G_ {1} G_ {2})}$ ${\ displaystyle (G_ {3} G_ {4})}$

Il teorema di Wittenbauer fornisce una semplice costruzione del centro di massa di un quadrilatero come centro del parallelogramma di Wittenbauer. Consente inoltre di trovare la relazione esistente tra il punto di intersezione delle diagonali, il centro di massa e l'isobariocentro dei quattro vertici: $io$ $G$ $M$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {IG}} = {\ frac {4} {3}} {\ overrightarrow {IM}}}

Centro di massa di una "coppia"

Una piastra a coppia omogenea è costituita da un disco con il centro del raggio da cui è stato tagliato un disco con un centro e un raggio tangente al primo disco. Le superfici delle piastre sono proporzionali al quadrato dei raggi. Il baricentro del sistema è quindi il baricentro della coppia . Quindi abbiamo $O$ $R$ ${\ displaystyle O_ {1}}$ $r$ ${\ displaystyle {(O, R ^ {2}), (O_ {1}, - r ^ {2})}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = - {\ frac {r ^ {2}} {\ mathrm {R} ^ {2} -r ^ {2}}} {\ overrightarrow {\ mathrm {OO}}} _ {1}}

Nel disegno a fianco, il raggio del cerchio piccolo è due volte più piccolo del raggio di quello grande, i punti , e sono allineati in questo ordine e . ${\ displaystyle O_ {1}}$ $O$ $G$ ${\ displaystyle \ mathrm {OG} = {\ frac {1} {3}} \ mathrm {OO} _ {1} = {\ frac {1} {6}} \ mathrm {R}}$

Modulo

Trapezio Il baricentro di un trapezio di basi e altezza si trova sulla mediana che unisce le due basi e ad una distanza dalla base grande pari a . È il baricentro dei punti medi ed è ponderato rispettivamente da e .

a> b

h

{\ displaystyle {\ frac {h} {3}} \ times {\ frac {a + 2b} {a + b}}}

{\ displaystyle I_ {a}}

{\ displaystyle I_ {b}}

2a + b

2b + a

Poligono Se un poligono semplice ha per vertici i punti e se ha per le coordinate , allora le coordinate di sono date dalle formule

{\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, ..., A_ {n} = A_ {0}}

Avere}}

{\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}

G

{\ displaystyle x = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {i = 0} ^ {n-1}} (x_ {i} + x_ {i + 1}) (x_ {i} y_ {i + 1 } -y_ {i} x_ {i + 1})} {3 \ displaystyle {\ sum _ {i = 0} ^ {n-1}} (x_ {i} y_ {i + 1} -y_ {i} x_ {i + 1})}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {i = 0} ^ {n-1}} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} y_ {i + 1 } -y_ {i} x_ {i + 1})} {3 \ displaystyle {\ sum _ {i = 0} ^ {n-1}} (x_ {i} y_ {i + 1} -y_ {i} x_ {i + 1})}}}

. Settore circolare Il centro di massa di un settore circolare con angolo 2 (in radianti) e raggio si trova sulla bisettrice dell'angolo e ad una distanza dal centro pari a .

\alfa

{\ displaystyle \ mathrm {R}}

{\ displaystyle {\ frac {2 \ mathrm {R} \ sin \ alpha} {3 \ alpha}}}

Se indichiamo la corda e

ℓ

l'arco del settore angolare, il centro di massa è ad una distanza dal centro pari a

S

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} {\ dfrac {\ mathrm {R} s} {\ ell}}}

Parabola Il centro di massa di una piastra di altezza a forma di parabola è sull'asse di simmetria della parabola e ad una distanza dal vertice pari a

h

{\ displaystyle 3h / 5}

Più in generale, il centro di massa di una sezione di parabola si trova a 3/5 della freccia dall'alto.