Localizzazione (matematica)

In algebra , la localizzazione è una delle operazioni di base dell'algebra commutativa . È un metodo che costruisce un nuovo anello da un anello commutativo . La costruzione del campo delle frazioni è un caso speciale di localizzazione.

Concetto intuitivo

La localizzazione consiste nel rendere invertibili gli elementi di una parte ("parte moltiplicativa") dell'anello. L'esempio più noto è il campo delle frazioni di un anello integrale che viene costruito rendendo invertibili tutti gli elementi diversi da zero dell'anello. Possiamo anche vedere la localizzazione come un modo per inviare l'anello in un anello "più grande" in cui le divisioni sono state consentite da elementi che prima non erano invertibili. Ad esempio, il localizzato di en è l'anello , in cui qualsiasi numero intero che non è un multiplo di ha un inverso. Questo anello corrisponde a una struttura ad anello di valutazione discreta perché è inoltre principale . $\ mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus 7 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {5}}, {\ frac {1} {11}}, {\ frac {1} {13}} ... \ right]}$ $7$

Definizione

Sia A un anello commutativo (unitario). Cerchiamo di rendere gli elementi di una parte S di A invertibile . Se un e b in S diventano invertibile, sarà lo stesso per il loro prodotto la cui inversa è quindi un -1 b -1 . Lavoriamo quindi con una parte moltiplicativa , cioè un insieme stabile per moltiplicazione, non contenente zero e contenente 1. $S \ sottoinsieme A$

La posizione dell'anello A nella parte S è quindi il dato di un anello, indicato con S -1 A e di un morfismo come: ${\ displaystyle l_ {S} \ ,: \, A \ rightarrow S ^ {- 1} A}$

{\ displaystyle l_ {S} (S) \ subset (S ^ {- 1} A) ^ {*} \ quad \ quad (l_ {S} (s) {\ text {è invertibile per tutto}} s \ in S),}

e che soddisfano la seguente proprietà universale : per qualsiasi morfismo di anello , se $f: A \ freccia destra B$

{\ displaystyle f (S) \ subset B ^ {*} \ quad \ quad (f (s) {\ text {è invertibile per tutti}} s \ in S),}

poi c'è un morfismo unico tale che . ${\ displaystyle g \ ,: \, S ^ {- 1} A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle f = g \ circ l_ {S}}$

L'anello S -1 A è anche indicato come A S o A [ S -1 ] ed è chiamato anello delle frazioni di A associato a S , o con denominatori in S , o anello delle frazioni di A rispetto a S .

Costruzione

Per costruire l'anello localizzato si procede come nella costruzione del corpo delle frazioni ma con un'ulteriore precauzione per tener conto del fatto che l'anello non è sempre integrale. Sul prodotto cartesiano la relazione di equivalenza è quindi la seguente: se e solo se esiste un elemento tale che . Il resto della costruzione è uguale a quella del corpo della frazione . L'uso dell'elemento è cruciale per la transitività. ${\ displaystyle A \ times S}$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (a ', s')}$ ${\ displaystyle t \ in S}$ ${\ displaystyle t (s'-sa ') = 0}$ $t$

Esempi importanti

Gli elementi regolari (vale a dire, non divisori di zero ) formano una parte moltiplicativa denotata ; l'anello è l' anello totale delle frazioni di ; l'omomorfismo di localizzazione in questo caso è iniettivo. ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $A$
Il complemento di un ideale primo è una parte moltiplicativa e può quindi essere utilizzato per localizzare l'anello. In questo caso, notiamo . È un anello locale chiamato localizzato da en . Più in generale, si può prendere a parte moltiplicativa il complemento dell'unione di ogni famiglia di ideali primi di A . Per una famiglia finita, otteniamo quindi un anello semi-locale . ${\ displaystyle A \ setminus p}$ $p$ ${\ displaystyle A_ {p} = (A \ setminus p) ^ {- 1} A}$ $A$ $p$
Quando è un anello integrale, il primo esempio è un caso speciale del secondo. Infatti l'ideale nullo è primo e il suo complemento lo è . In questo caso, è un campo chiamato campo delle frazioni di . $A$ ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $A$
Quando è integrità, è uguale all'intersezione, nel suo corpo di frazioni, dei suoi localizzati nei suoi massimi ideali. $A$
Quando non è un anello integrale, il complemento di un ideale primo può contenere divisori di zero. L'omomorfismo di localizzazione non è quindi iniettivo. Ad esempio, si consideri l' anello prodotto quando è un campo. Ha due ideali massimi e . Le due località sono quindi isomorfe a e le due mappe canoniche sono infatti le due proiezioni. In questo caso vediamo che invertire gli elementi non ne aumenta il numero ma al contrario lo diminuisce. $A$ $p$ ${\ displaystyle A \ to A_ {p}}$ ${\ displaystyle A = K ^ {2}}$ $K$ ${\ displaystyle M_ {1} = K \ times 0}$ ${\ displaystyle M_ {2} = 0 \ times K}$ ${\ displaystyle A_ {M_ {i}}}$ $K$
Sia un elemento di . L'insieme di unione di {1} e potenze positive ( n > 0) è una parte moltiplicativa di . Si nota la posizione di rispetto a questa parte moltiplicativa . Si noti che è l'anello nullo se, e solo se, è nilpotente. Quando è integrale, è l'insieme delle frazioni che può essere espresso come il quoziente di un elemento di da una potenza positiva di . $f$ $A$ $S$ $f ^ {n}$ $A$ $A$ $A_ {f}$ $A_ {f}$ $f$ $A$ $A_ {f}$ $A$ $f$

Spiegazione del termine localizzazione

Prendiamo l'anello dei polinomi ℂ [X]. Poiché ℂ è algebricamente chiuso , lo spettro primo di ℂ [X] si identifica con ℂ stesso (con un punto aggiuntivo corrispondente all'ideale nullo). Il localizzato nell'ideale massimale generato da X, (X) = Xℂ [X], è chiamato localizzato in ed è precisamente l'anello dei polinomi in cui abbiamo autorizzato tutte le divisioni eccetto quelle dei polinomi evanescenti in 0. Questo nuovo anello è l'insieme delle frazioni razionali senza polo a 0 (quindi olomorfe in un intorno di 0). Ci permette di essere interessati alle proprietà dei polinomi nelle vicinanze di , da cui il termine anello localizzato . ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$

Spettro principale di una localizzazione

Sia una parte moltiplicativa di . Quindi l'insieme degli ideali primi di può essere identificato con la parte degli ideali primi di disgiunto di . Più precisamente, sia il morfismo canonico. Per ogni ideale primo di , è un ideale principale di cui è disgiunto da , e questa corrispondenza è uno-a-uno, la corrispondenza reciproca associando un ideale primo di all'ideale di . Inoltre, il morfismo canonico tra gli anelli integrali induce un isomorfismo tra i loro campi di frazioni. $S$ $A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $A$ $S$ ${\ displaystyle l_ {S}: A \ to S ^ {- 1} A}$ $Q$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle l_ {S} ^ {- 1} (Q)}$ $A$ $S$ $P$ $A$ ${\ displaystyle l_ {S} (P) S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle A / l_ {S} ^ {- 1} (Q) \ to S ^ {- 1} A / Q}$

Si noti che in generale, questa corrispondenza non esiste per gli ideali massimi (si consideri l'esempio con uguale all'anello degli interi e al suo campo di frazioni). $A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Individuazione dei moduli

Lascia e come sopra . Sia un modulo. Allora il localizzato è un -modulo dotato di un -morfismo -lineare tale che ogni -morfismo -lineare in -modulo è univocamente scomposto in composto da -morfismo -lineare . In concreto, l'insieme modulo è la relazione di equivalenza: se e solo se esiste in tale che . L'applicazione canonica consiste nell'invio sulla classe di . Il suo kernel è il sottomodulo di cancellato da un elemento di . Questa localizzazione è isomorfa al prodotto tensoriale di e su . $A$ $S$ $M$ $A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $A$ ${\ displaystyle f: M \ to S ^ {- 1} M}$ $A$ ${\ displaystyle M \ to N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $NON$ $f$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M \ to N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle M \ times S}$ ${\ displaystyle (x, s) \ sim (x ', s')}$ $t$ $S$ ${\ displaystyle t (s'x-sx ') = 0}$ ${\ displaystyle M \ to S ^ {- 1} M}$ $X$ $(x, 1)$ $X$ $S$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ $M$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $A$

Nella teoria delle categorie , l'operazione denotava che un oggetto della classe -Mod (categoria -moduli ) associa la categoria del soggetto -Mod, è un funtore esatto . $S ^ {{- 1}}$ $M$ $A$ $A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Note e riferimenti

N. Bourbaki , Elementi di matematica , Algebra commutativa , capitolo II.
N. Bourbaki, Algebra , capitolo I, p. 107.
N. Bourbaki, Algebra , capitolo I, p. 108.
M.-P. Malliavin , Commutative Algebra, Applications in Geometry and Number Theory , p. 27-28.
N. Bourbaki, Elementi di matematica , AC II.3.3.
(in) Algebra commutativa di base di Balwant Singh , p. 32, anteprima su Google Libri .