Categoria moduli

In matematica, la categoria dei moduli su un monoide R è una costruzione che spiega astrattamente le proprietà osservate nello studio dei moduli su un anello , generalizzandole. Lo studio delle categorie di moduli appare naturalmente nella teoria delle rappresentazioni e nella geometria algebrica .

Poiché R -module è uno spazio vettoriale quando R è un corpo commutativo , può in tal caso individuazione della categoria dei moduli sulla R alla categoria degli spazi vettoriali  (a) sul corpo R . D'altra parte, ogni gruppo abeliano ha una struttura naturale di -module, che permette l'individuazione della categoria dei moduli sulla alla categoria dei gruppi abeliani . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Definizione

È C una categoria monoidale e R un monoide di C . La categoria dei moduli su R , indicata con R - Mod , è la categoria definita come segue:

• Gli oggetti sono i moduli R in C , cioè le coppie (A, M) con A un anello commutativo e M un modulo A  ;
• I morfismi sono moduli di omomorfismi, cioè le coppie (φ, μ) costituite da un morfismo di anelli φ: A → B e da un morfismo di A -moduli . La composizione è la solita composizione di funzioni e l'identità è la funzione di identità .μ:M→A⊗ϕM{\ displaystyle \ mu: M \ to A \ otimes _ {\ phi} M}

Possiamo dotare gli hom-set di R - Mod con una struttura di gruppo abeliana . Infatti, se M, N sono due oggetti, e se , possiamo definire f1,f2∈HomR-Mod(M,NON){\ displaystyle f_ {1}, f_ {2} \ in \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod}} (M, N)}

(f1+f2):m↦f1(m)+f2(m){\ displaystyle (f_ {1} + f_ {2}): m \ mapsto f_ {1} (m) + f_ {2} (m)}

e la composizione dei morfismi è data dal prodotto tensoriale risultante dalla categoria Ab dei gruppi abeliani  :

HomR-Mod(A,B)⊗HomR-Mod(B,VS)→HomR-Mod(A,VS){\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod}} (A, B) \ otimes \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod }} (B, C) \ to \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod}} (A, C)}

il che lo rende una categoria arricchita di Ab (quindi preadditiva). Estendendo questa struttura a quella di un modulo R , il prodotto tensoriale dei moduli permette di dotare R - Mod di una struttura di categoria monoidale , con R per unità. Essa ha anche un interno funtore Hom in questo prodotto tensoriale, che lo rende una categoria monoidale chiuso.

Proprietà della categoria dei moduli

Proprietà categoriali

• Categoria R - Mod è preadditive  (en) , additive e abelian  ;
• La categoria R - Mod è monoide chiusa  ;
• R - Mod ammette tutti i prodotti e co- prodotti ;
• R - Mod ammette tutti i nuclei  (in) e cokernels;
• R - Mod è una categoria Grothendieck  (en)  ;
• R - Mod è una bifibrazione su R , data dal funtore di proiezione canonico  ;R-Mod→VSRionong{\ displaystyle R {\ text {-}} \ mathrm {Mod} \ to \ mathrm {CRing}}

Oggetti

• L 'oggetto iniziale , finale e zero di R - Mod è il banale modulo R  ;{0}{\ displaystyle \ {0 \}}

Morfismi

• I monomorfismi sono morfismi iniettivi. Inoltre, qualsiasi monomorfismo è il nucleo del suo cokernel;
• Gli epimorfismi sono morfismi suriettivi. Inoltre, ogni epimorfismo è il nocciolo del suo nucleo;

Limiti

• Il prodotto  è il prodotto diretto  dei moduli;
• Il coprodotto è la somma diretta dei moduli;

Vedi anche

Articoli Correlati

• Teorema dell'incorporamento di Freyd-Mitchell
• Teorema di Eilenberg-Watts
• Dualità di Tannaka

Appunti

1. Per convenzione, generalmente si considerano i moduli R a sinistra.
2. Questi oggetti sono unici tranne che per gli isomorfismi.

Riferimenti

• (it) Saunders Mac Lane , Categories for the Working Mathematician [ dettaglio dell'edizione ]
• (it) Rankeya Datta, "  La categoria dei moduli su un anello commutativo e le categorie abeliane  "
• (it) Andy Kiersz, "  Colimits and homological algebra  "
• (en) "  Mod  " , su nLab  (en)

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