Lemma di Schreier

In matematica , il lemma di Schreier è il risultato di gruppi teorici che, da un generatore di un gruppo e una croce di un sottogruppo , per costruire una parte generatore del sottogruppo .

stati

Siamo:

$G$ un gruppo ;
$S$ una parte generatrice di ; $G$
$H$ un sottogruppo di ; $G$
$T$ una traversa a destra di in , contenente l' elemento neutro . $H$ $G$

Per ogni elemento g di , indichiamo con g l'elemento di cui ha la stessa classe a destra : $G$ $T$

{\ displaystyle {\ overline {g}} \ in T \ quad {\ text {e}} \ quad g \ in H {\ overline {g}}.}

Quindi, viene generato dal sottoinsieme $H$

{\ displaystyle \ {ts ({\ overline {ts}}) ^ {- 1} ~ | ~ t \ in T, s \ in S \}.}

Esempio

Se ha indice 2 in , allora ne contiene almeno uno e possiamo considerarlo trasversale . Possiamo anche tornare al caso in cui è l'unico elemento di cui non appartiene (sostituendo gli altri con il loro prodotto da ). Quindi calcoliamo $H$ $G$ $S$ ${\ displaystyle \ scriptstyle q \ notin H}$ ${\ displaystyle T = \ {1, q \}}$ $q$ $S$ $H$ $q$

{\ displaystyle ts ({\ overline {ts}}) ^ {- 1} = {\ begin {cases} {\ text {si}} ~ s = q \ quad {\ text {and}} & {\ begin { casi} t = 1: & q ({\ overline {q}}) ^ {- 1} = 1 \\ t = q: & q ^ {2} ({\ overline {q ^ {2}}}) ^ {- 1} = q ^ {2} \ end {case}} \\ {\ text {si}} ~ s \ in S \ setminus \ {q \} ~ {\ text {et}} & {\ begin { case} t = 1: & s ({\ overline {s}}) ^ {- 1} = s \\ t = q: & qs ({\ overline {qs}}) ^ {- 1} = qsq ^ { - 1}. \ End {cases}} \ end {cases}}}

$H$ viene quindi generato congiuntamente agli elementi di e ai loro coniugati da . $q ^ {2}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S \ setminus \ {q \}}$ $q$

Dimostrazione

Sia un elemento del sottogruppo . È scritto $h$ $H$

{\ displaystyle h = a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {n}, \ quad {\ text {con}} \ quad a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ in S \ cup S ^ {-1}.}

Supponiamo, per : ${\ displaystyle \ scriptstyle k = 0,1, \ ldots, n}$

{\ displaystyle t_ {k} = {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {k}}}.}

In particolare , quindi ${\ displaystyle t_ {0} = t_ {n} = 1}$

{\ displaystyle h = (t_ {0} a_ {1} t_ {1} ^ {- 1}) (t_ {1} a_ {2} t_ {2} ^ {- 1}) \ ldots (t_ {n- 1} a_ {n} t_ {n} ^ {- 1})}

Ora , quindi, ciascuna delle parentesi di questo prodotto ha la forma ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overline {t_ {k-1} a_ {k}}} = t_ {k}}$ $non$

{\ displaystyle ta ({\ overline {ta}}) ^ {- 1}, \ quad {\ text {con}} \ quad t \ in T \ quad {\ text {e}} \ quad a \ in S \ coppa S ^ {- 1}.}

Concludiamo osservando che se e , posando , otteniamo ${\ displaystyle \ scriptstyle t \ in T}$ ${\ displaystyle a = s ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle t '= {\ overline {ta}}}$

{\ displaystyle ta ({\ overline {ta}}) ^ {- 1} = \ left (t'st ^ {- 1} \ right) ^ {- 1} = \ left (t's ({\ overline {t's} }) ^ {- 1} \ right) ^ {- 1}.}

Applicazioni

Si deduce immediatamente che se è un gruppo di tipo finito e un sottogruppo di indice finito, allora è di tipo finito. $G$ $H$ $H$
Questo lemma è anche un primo passo in Schreier s' dimostrazione del teorema Nielsen-Schreier , secondo cui ogni sottogruppo di un gruppo libero è libero.

fonte

(it) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ dettaglio delle edizioni ], p. 96-97 (tranne per il fatto che Hall chiama le classi a sinistra le nostre classi a destra)