La teoria K di Milnor

La K-teoria Milnor , teoria matematica introdotta da John Milnor , è uno dei primi tentativi di definire gruppi di K- teoria algebrica di ordine superiore.

Definizione

Il calcolo del K 2 di un campo F ha portato Milnor alla seguente definizione ad hoc di K -gruppi di indici maggiori di

K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ {\ times} / (a ​​\ otimes (1-a)),

quindi come ( graduata ) quoziente della algebra tensore del gruppo abeliano F × dalla ideale bilaterale generato dal un ⊗ (1 - un ) per un ≠ 0, 1.

Il prodotto tensoriale su T * F induce un prodotto K M m × K M n → K M m + n che rende K M ( F ) un anello laureato che è commutativo (in senso graduato) .

Esempi

Per n = 0, 1 o 2, questi K -gruppi di campi coincidono con quelli di Quillen , ma per n ≥ 3 sono in generale diversi.

K M n ( F q ) = 0 per n ≥ 2 (mentre il gruppo K- Quillen K 2 i - 1 ( F q ), per i ≥ 1, è ciclico di ordine q i - 1).

K M 2 ( ℂ ) è un gruppo divisibile non numerabile senza torsione .

K M 2 ( ℝ ) è la somma diretta di un sottogruppo ciclico di ordine 2 e di un sottogruppo divisibile non numerabile senza torsione.

K M 2 ( ℚ p ) è la somma diretta del gruppo moltiplicativo di F p e di un sottogruppo non numerabile divisibile senza torsione.

K M 2 ( ℚ ) è la somma diretta di un sottogruppo ciclico di ordine 2 e di sottogruppi ciclici di ordine p - 1, per ogni numero primo dispari p .

Collegamenti ad altre teorie

La teoria K di Milnor gioca un ruolo fondamentale nei corpi della teoria delle classi upper (en) , sostituendo K M 1 usata nella teoria del campo delle classi di dimensione 1.

La teoria K modulo 2 di Milnor, indicata con k ✲ ( F ), è correlata alla coomologia étale (o Galois ) del campo F dalla congettura di Milnor , dimostrata da Vladimir Voïevodski . L'affermazione analoga modulo un numero primo dispari è la congettura di Bloch-Kato (en) , dimostrata da Voevodsky e Rost (de) .

Definiamo il “simbolo” { a 1 ,…, a n } come l'immagine di un 1 ⊗… ⊗ a n in K M n ( F ): se n = 2, è un simbolo di Steinberg .

Definiamo per tutti n un morfismo di k n ( F ) nel gruppo Witt di F , associando a questo simbolo la forma Pfister (en) di dimensione 2 n

$\ langle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle = \ langle 1, a_ {1} \ rangle \ otimes \ langle 1, a_ {2} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes \ langle 1, a_ {n} \ rangle.$

Visto che ha valori in I n / I n +1 , questo morfismo è suriettivo perché le forme Pfister generano additivamente I n . La congettura di Milnor è interpretata come l' iniettività di questo morfismo.

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Milnor K-theory " ( vedere l'elenco degli autori ) .

(in) John Willard Milnor , " Teoria K algebrica e forme quadratiche " , Invent. Matematica. , vol. 9, n o 4,1970, p. 318-344 ( leggi in linea ).
(in) Philippe Gille e Tamás Szamuely (de) , Central mere algebras and Galois cohomology , UPC , al. "Cambridge Studies in Advanced Mathematics" ( n ° 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 , leggi online ) , p. 208.
(it) Tsit-Yuen Lam , Introduzione a forme quadratiche sopra campi , Providence (RI), AMS , coll. " GSM " ( n o 67)2005, 550 p. ( ISBN 0-8218-1095-2 , leggi online ) , p. 366.
Lam 2005 , p. 316.