Involuzione (matematica)
In matematica , un'involuzione è un'applicazione biiettiva che è la sua reciproca , vale a dire per cui ogni elemento è l'immagine della sua immagine. È il caso, ad esempio, del cambio di segno nell'insieme dei numeri reali , o delle simmetrie del piano o dello spazio nella geometria euclidea . In algebra lineare , involutive endomorfismi sono chiamati anche simmetrie.
Le involuzioni compaiono in molte aree della matematica, in particolare nella combinatoria e nella topologia . Un'involuzione può anche essere associata a un fenomeno di dualità .
Definizione formale
Diciamo che un'applicazione è involutiva (o che è un'involuzione di E ) se per tutto . In altre parole : il composito di f con sé la carta d'identità di E .
Proprietà
Una mappa f di E in se stessa è un'involuzione se e solo se è biiettiva e tale che f −1 = f (l'immagine e l'antecedente di qualsiasi elemento di E coincidono).
Il composto g ∘ f di due involuzioni f e g di E è involutiva se e solo se f e g pendolari , vale a dire se f ∘ g = g ∘ f .
Sia f un'involuzione di E :
- se g è una biiezione da E a F , con biiezione reciproca g −1 , allora g ∘ f ∘ g −1 è un'involuzione di F ;
- se g è una mappatura di E in E come g ∘ f ∘ g = f , allora f ∘ g e g ∘ f sono involuzioni di E .
Esempi
In algebra lineare , se K è un campo ed E uno K- spazio vettoriale:
- le simmetrie di E sono gli endomorfismi attribuite da E .
- in particolare, sullo spazio vettoriale M n ( K ) di matrici quadrate di ordine n con coefficienti in K , la trasposizione è un endomorfismo involutivo.
- quando E è di dimensione finita n , possiamo associare ad ogni endomorfismo di E la sua matrice A (elemento di M n ( K )) in una base fissa; questa matrice è quella di una simmetria se e solo se A × A è uguale alla matrice identità I n .
In algebra , l'applicazione di un gruppo in sé che ad ogni elemento x associa il suo x −1 simmetrico è involutiva: ( x −1 ) −1 = x .
In analisi , per tutti i numeri reali b ≠ 0 e a , le mappe definite su ℝ \ { a } e definite su ℝ, sono involuzioni.
La coniugazione complessa è un'involuzione di ℂ . Più generalmente :
- sull'insieme delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti complessi, la mappa che ad ogni matrice associa la sua aggiunta è un'involuzione.
- su un'estensione quadratica , l'applicazione che ad ogni elemento associa il suo coniugato è involutiva.
Nella logica classica , la negazione è involutiva: "non non A" è equivalente ad "A"; ma questo non è il caso della logica intuizionista .
Una permutazione è un'involuzione se e solo se si scompone in cicli disgiunti di lunghezza minore o uguale a 2. Si compone quindi esclusivamente di punti fissi e trasposizioni.
Generalizzazione
Il concetto di involuzione può essere esteso ad altri oggetti matematici: infatti se consideriamo un monoide ( M , ✻, e ), diciamo che un elemento a di M è un'involuzione (per la legge ✻) o è involutivo (in M ) se a ✻ a = e .
Abbiamo quindi, per ogni numero naturale k : a 2 k = e k = e quindi a 2 k + 1 = e ✻ a = a .
L' elemento neutro di un monoide è un'involuzione di questo monoide.
Un caso frequente è quello di un'involuzione in un anello rispetto alla seconda legge.