L'integrale di Daniell

In matematica , l' integrale di Daniell è un tipo di integrazione che generalizza il concetto più basilare dell'integrale di Riemann che di solito è il primo insegnato. Una delle principali difficoltà della formulazione tradizionale dell'integrale di Lebesgue è che richiede lo sviluppo preliminare della teoria della misura prima di ottenere i risultati principali di questo integrale. Tuttavia, è possibile un altro approccio, che è stato sviluppato da Percy John Daniell in un articolo del 1918 che non presenta questa difficoltà, e presenta vantaggi reali rispetto alla formulazione tradizionale, soprattutto quando si vuole generalizzare l'integrale a spazi dimensionali superiori o quando si vuole per introdurre altre generalizzazioni come l' integrale di Riemann-Stieltjes . L'idea di base introduce un'assiomatizzazione dell'integrale.

Assiomi di Daniell

Iniziamo scegliendo un insieme di funzioni reali limitate (chiamate funzioni elementari ) definite su un insieme , che soddisfi i due assiomi: $H$ $X$

$H$ è uno spazio vettoriale per le normali operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare.
Se una funzione è in , allora lo è anche il suo valore assoluto . $h$ $H$ ${\ displaystyle | h |}$

Inoltre, a ciascuna funzione h in H viene assegnato un numero reale , che viene chiamato integrale elementare di h , che soddisfa i tre assiomi: ${\ displaystyle Ih}$

Linearità. Se h e k sono entrambi H, ed e sono due numeri reali, allora . $\alfa$ $\beta$ ${\ displaystyle I (\ alpha h + \ beta k) = \ alpha Ih + \ beta Ik}$
Positività. Allora sì . $h (x) \ geq 0$ ${\ displaystyle Ih \ geq 0}$
Continuità. Se è una sequenza decrescente in senso lato (cioè ) di funzioni in cui converge a 0 per tutto in , allora . ${\ displaystyle h_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle h_ {1} \ geq \ cdots \ geq h_ {k} \ geq \ cdots}$ $H$ $X$ $X$ ${\ displaystyle Ih_ {n} \ to 0}$

Definiamo quindi una forma lineare continua positiva sullo spazio delle funzioni elementari. $io$

Queste funzioni elementari e i loro integrali elementari possono essere qualsiasi insieme di funzioni e definizioni di integrali per quelle funzioni che soddisfano questi assiomi. La famiglia di tutte le funzioni scala ovviamente soddisfa i primi due assiomi. Se definiamo l'integrale elementare per la famiglia di funzioni scala come l'area (orientata) del dominio definito dalla funzione scala, sono soddisfatti anche i tre assiomi per un integrale elementare. Se applichiamo la costruzione dell'integrale di Daniell descritta di seguito utilizzando le funzioni scala come funzioni elementari, definiamo un integrale equivalente all'integrale di Lebesgue. Se è uno spazio topologico e se usiamo la famiglia di tutte le funzioni continue come funzioni elementari e l' integrale di Riemann tradizionale come integrale elementare, allora questo porta ad un integrale che è ancora equivalente alla definizione di Lebesgue. Se facciamo la stessa cosa, ma usando l' integrale di Riemann - Stieltjes , con un'opportuna funzione di variazione limitata , otteniamo una definizione dell'integrale equivalente a quella di Lebesgue - Stieltjes . $X$

Gli insiemi trascurabili (cioè misura zero) possono essere definiti in termini di funzioni elementari come segue. Un insieme che è un sottoinsieme di è un insieme trascurabile se per tutti esiste una sequenza crescente di funzioni elementari positive in H tale che e via . $Z$ $X$ $\ epsilon> 0$ ${\ displaystyle h_ {p} (x)}$ ${\ displaystyle Ih_ {p} <\ epsilon}$ ${\ displaystyle \ sup _ {p} h_ {p} (x) \ geq 1}$ $Z$

Diciamo che una proprietà è vera quasi ovunque se è vera ovunque tranne che su un insieme trascurabile. $X$

Definizione di integrale di Daniell

Possiamo estendere la nozione di integrale a una classe di funzioni più ampia, in base alla nostra scelta di funzioni elementari, la classe , che è la famiglia di tutte le funzioni che sono limitate quasi ovunque ad una sequenza crescente di funzioni elementari, come quella l'insieme degli integrali è limitato. L'integrale di una funzione in è definito da: $L ^ {+}$ $h_ {n}$ ${\ displaystyle Ih_ {n}}$ $f$ $L ^ {+}$

{\ displaystyle If = \ lim _ {n \ to \ infty} Ih_ {n}}

Possiamo dimostrare che questa definizione di integrale è ben definita, cioè che non dipende dalla scelta della successione . $h_ {n}$

Tuttavia, la classe di solito non è chiusa per la sottrazione e la moltiplicazione per numeri negativi, ma possiamo estenderla definendo una classe più ampia di funzioni in modo tale che qualsiasi funzione possa essere rappresentata quasi ovunque come differenza , dalle funzioni e in classe . Quindi l'integrale di una funzione può essere definito da: $L ^ {+}$ $L$ $\ phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi = fg}$ $f$ $g$ $L ^ {+}$ $\ phi (x)$

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = If-Ig \,}

Anche in questo caso, possiamo mostrare che l'integrale è ben definito, cioè che non dipende dalla scomposizione di into e . Questo completa la costruzione dell'integrale Daniell. $\ phi$ $f$ $g$

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Daniell integral " ( vedere l'elenco degli autori ) .

(in) Percy John Daniell , " General A form of integral " , Annals of Mathematics , vol. 19,1918, p. 279–94

Vedi anche

Bibliografia