Intervallo spazio-temporale

Il quadrato della distanza di spazio-tempo tra due eventi nella spazio-tempo della relatività speciale o generale è equivalente al quadrato della distanza geometrica tra due punti nel spazio euclideo . Questa quantità è invariante dal cambiamento del sistema di riferimento della dell'osservatore .

Quando il quadrato dell'intervallo spazio-temporale tra due eventi è positivo o zero (il termine quadrato è usato qui solo formalmente), allora i due eventi possono essere collegati da un collegamento di causa ed effetto e l'intervallo spazio-temporale (definito da prendendo la radice quadrata ) permette di definire il giusto tempo tra questi due eventi.

Quando il quadrato dell'intervallo spazio-temporale tra due eventi è strettamente negativo, allora nessuno dei due può essere la causa dell'altro, e l'intervallo spazio-temporale è indefinito (o nel migliore dei casi come un numero immaginario ), ma prendendo il quadrato radice del contrario del quadrato otteniamo la giusta distanza tra questi eventi.

Il quadrato dell'intervallo spazio-temporale serve come definizione della pseudo-metrica dello spazio di Minkowski nella relatività ristretta, così come la pseudo-metrica infinitesimale nello spazio curvo della relatività generale.

Espressione di relatività speciale

Nello spazio euclideo tridimensionale, il quadrato della distanza tra due punti A e B di coordinate ( x A , y A , z A ) e ( x B , y B , z B ) rispetto a un sistema di coordinate cartesiane ortonormali è espresso nella forma: Δl{\ displaystyle \ Delta l}

(Δl)2=(XB-XA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2,{\ displaystyle \, (\ Delta l) ^ {2} = (x _ {\ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} + (y _ {\ text {B} } - y_ {\ text {A}}) ^ {2} + (z _ {\ text {B}} - z _ {\ text {A}}) ^ {2} \ ,,}

ciò che è comunemente scritto in modo più condensato

Δl2=ΔX2+Δy2+Δz2.{\ displaystyle \ Delta l ^ {2} = \ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} \,.}

È ovvio che nella fisica classica questa quantità è invariante per cambiamento del quadro di riferimento. Ma questo non è più il caso della fisica relativistica.

Nella geometria spazio-temporale della relatività speciale , scriviamo il "quadrato dell'intervallo spazio-temporale", annotato , tra due eventi A e B di coordinate ( t A , x A , y A , z A ) e ( t B , x B , y B , z B ) in quattro dimensioni spazio-tempo (una di tempo, cioè t , e tre di spazio) nella forma ΔS2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2}}

(ΔS)2=vs2(tB-tA)2-(XB-XA)2-(yB-yA)2-(zB-zA)2{\ displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = \, c ^ {2} (t _ {\ text {B}} - t _ {\ text {A}}) ^ {2} - (x _ { \ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} - (y _ {\ text {B}} - y _ {\ text {A}}) ^ {2} - (z _ {\ text {B}} -z _ {\ text {A}}) ^ {2}}

o

ΔS2=vs2Δt2-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}

espressione in cui il fattore c 2 ( velocità della luce al quadrato) è imposto mediante trasformazioni di Lorentz o principi di relatività ristretta, secondo il metodo utilizzato per giustificare la sua invarianza mediante cambiamento del sistema di riferimento inerziale .

La pseudo-metrica , annotata , è definita dalla o secondo la convenzione del segno o scelta.  ΔS{\ displaystyle \ \ Delta s} ΔS2=-vs2(Δt)2+(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} ΔS2=vs2(Δt)2-(ΔX)2-(Δy)2-(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Invarianza

L'invarianza, per cambiamento del sistema di riferimento inerziale , del quadrato dell'intervallo spazio-temporale è una proprietà centrale della relatività ristretta . A seconda della presentazione scelta, questa invarianza può essere posta come assioma fondante della teoria, o dedotta direttamente dagli assiomi originali della relatività, vale a dire il principio di relatività e l'invarianza della velocità della luce per cambiamento del sistema di riferimento inerziale , o ancora dedotto dalle trasformazioni di Lorentz che trasformano le coordinate durante un cambiamento del sistema di riferimento inerziale (queste trasformazioni possono essere dedotte dai due principi originali della relatività speciale). A partire da Hermann Minkowski , alcune presentazioni della teoria scelgono una delle prime due opzioni, adottando un punto di vista puramente geometrico nella dimensione quattro (tre dello spazio e una del tempo). La terza opzione corrisponde meglio allo sviluppo storico della teoria.

Una prova di invarianza dai due assiomi della relatività ristretta

I due assiomi sono: il principio di relatività e l'invarianza della velocità della luce per cambiamento del sistema di riferimento (inerziale, come tutti i sistemi di riferimento qui considerati).

• Se, in un repository, due eventi sono separati dalla distanza spaziale e la distanza temporale in modo tale che la velocità della luce, quindi abbiamo: . Δl{\ displaystyle \ \ Delta l} Δt{\ displaystyle \ \ Delta t}|Δl/Δt|=vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | \, = c} ΔS2=vs2Δt2-Δl2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0}

Se gli stessi due eventi sono visti da un altro quadro di riferimento, allora le distanze spaziali e temporali ci sono e , con la velocità della luce, che ha lo stesso valore in quest'altro quadro, secondo il secondo assioma. Ne deduciamo che anche in questo quadro di riferimento ce l'abbiamo Δl′{\ displaystyle \ \ Delta l '} Δt′{\ displaystyle \ \ Delta t '}|Δl′/Δt′|=vs{\ displaystyle | \ Delta l '/ \ Delta t' | \, = c} ΔS′2=vs2Δt′2-Δl′2=0{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = c ^ {2} \ Delta t' ^ {2} - \ Delta l '^ {2} = 0} Quindi, se in un quadro di riferimento, è lo stesso in qualsiasi altro. ΔS2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 0}

• In ogni quadro di riferimento e per ogni coppia di eventi sufficientemente vicini, e sono infinitamente piccoli dello stesso ordine di grandezza perché i cambiamenti dei quadri di riferimento sono funzioni affini a coefficienti costanti, quindi le relazioni tra loro , da un quadro di riferimento a altri sono lineari o affini. e si cancellano a vicenda simultaneamente, quindi esiste un numero tale che . Questo numero non può dipendere dalla posizione relativa dei due sistemi di riferimento perché si presume che lo spazio-tempo sia omogeneo , quindi dipende solo dalla velocità relativa dei due sistemi di riferimento. Ma non può dipendere dalla direzione di questa velocità perché si suppone che lo spazio-tempo sia isotropo . Quindi dipende solo dal valore assoluto della velocità relativa, o il suo quadrato: . ΔS2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} ΔS′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}} Δl,Δt{\ displaystyle \ \ Delta l \ ;, \ Delta t} ΔS2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} ΔS′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}}a{\ displaystyle a} ΔS2=a.ΔS′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a. \ Delta s '^ {2}} a=a(v2){\ displaystyle \ a = a (v ^ {2})}
• Considerando tre quadri di riferimento, il principio di relatività che impone che le leggi siano le stesse lì, abbiamo: e . Così . Ora dipende dall'angolo tra e , angolo che non interviene . Quindi, è un numero costante, non dipendente dalla velocità relativa dei quadri di riferimento. ΔS2=a(v2).ΔS′2,{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v ^ {2}). \ Delta s '^ {2} \ ,,}  ΔS′2=a(v′2).ΔS″2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = a (v' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} ΔS2=a(v″2).ΔS″2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v '' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} a(v″2)=a(v2).a(v′2){\ displaystyle \ a (v '' ^ {2}) = a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} v″2{\ displaystyle \ v '' ^ {2}} v{\ displaystyle \ v} v′{\ displaystyle \ v '}a(v2).a(v′2){\ displaystyle a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} a(v2)=a{\ displaystyle \ a (v ^ {2}) = a}
• Come , abbiamo . ΔS2=1.ΔS2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 1. \ Delta s ^ {2}} a=1{\ displaystyle \ a = 1}

Conclusione . Il quadrato dell'intervallo spazio-temporale è invariante per cambiamento del sistema di riferimento. ΔS2=ΔS′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = \ Delta s '^ {2}}   Una prova dell'invarianza dalle trasformazioni di Lorentz scritta in forma classica

Riduciamo il problema a due dimensioni per una maggiore leggibilità, quindi trascuriamo i dettagli sulle rotazioni spaziali.

Considerando due sistemi di riferimento e in traslazione rettilinea uniforme uno rispetto all'altro alla velocità , le trasformazioni di Lorentz utilizzate sono: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '} v{\ displaystyle \ v}

 {vsΔt′=γ(vsΔt-βΔX)ΔX′=γ(ΔX-β.vsΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz {\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {matrix} c \ Delta t '= \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x' = \ gamma \ sinistra (\ Delta x- \ beta .c \ Delta t \ right) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matrix}} \ right. \, ~}con e ,β=vvs{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}γ=1/1-β2{\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} Con alcuni semplici calcoli algebrici, dimostriamo che abbiamo vs2Δt′2-ΔX′2-Δy′2-Δz′2=vs2Δt2-ΔX2-Δy2-Δz2,{\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} - \ Delta y '^ {2} - \ Delta z' ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} - \ Delta z ^ {2} \ ,,}   Una dimostrazione dell'invarianza delle trasformazioni di Lorentz espressa utilizzando funzioni iperboliche

Il calcolo seguente illustra la stretta relazione tra le formule di trasformazione di Lorentz e l'invarianza del quadrato dell'intervallo spazio-temporale e la possibilità di passare da un formalismo all'altro.

Nella geometria euclidea, una rotazione dell'angolo θ del sistema di coordinate attorno all'asse Oz lascia invariante la distanza tra due punti. Le formule per il cambio degli assi delle coordinate corrispondenti a questa rotazione e dando le nuove coordinate secondo quelle vecchie sono scritte:

{X′=Xcosθ+ypeccatoθy′=-Xpeccatoθ+ycosθz′=z.{\ displaystyle {\ begin {case} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \\ z '= z \ ,. \ end {case}}}

Pertanto le differenze di coordinate tra i due punti A e B diventano

{ΔX′=ΔXcosθ+ΔypeccatoθΔy′=-ΔXpeccatoθ+ΔycosθΔz′=Δz.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ Delta x '= \ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta \\\ Delta y' = - \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta \\\ Delta z '= \ Delta z \ ,. \ End {case}}}

Possiamo dedurre

(ΔX′)2+(Δy′)2+(Δz′)2=(ΔXcosθ+Δypeccatoθ)2+(-ΔXpeccatoθ+Δycosθ)2+(Δz)2≡(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2,{\ displaystyle (\ Delta x ') ^ {2} + (\ Delta y') ^ {2} + (\ Delta z ') ^ {2} = (\ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta) ^ {2} + (- \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ equiv (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ ,,}

formula che mostra chiaramente l'invarianza di questa somma di quadrati.

Nella relatività speciale, le trasformazioni di Lorentz consentono di passare dal sistema “fisso” ad un sistema animato da una velocità v lungo l'asse Ox . Utilizzando il parametro angolare θ definito da

β=v/vs, β=tanh⁡θ{\ displaystyle \ beta = v / c \ ,, \ \ beta \, = \, \ tanh \ theta}   è   θ=atanonhβ{\ displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \ beta}

Le formule di Lorentz sono scritte come formule di rotazione degli assi tranne per il fatto che le funzioni trigonometriche sono sostituite dalle funzioni iperboliche. Abbiamo le espressioni  :

{vst′= vstcoshθ-XsinhθX′=-vstsinhθ+Xcoshθy′=yz′=z{\ Displaystyle {\ begin {cases} ct '= \ ct \ cosh \, \ theta -x \ sinh \, \ theta \\ x' = - ct \ sinh \, \ theta + x \ cosh \, \ theta \ \ y '= y \\ z' = z \ end {case}}}

Pertanto, se consideriamo due eventi, le differenze di coordinate si trasformeranno come

{vsΔt′= vsΔtcoshθ-ΔXsinhθΔX′=-vsΔtsinhθ+ΔXcoshθΔy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle {\ begin {cases} c \ Delta t '= \ c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta \\\ Delta x' = - c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {case}}}

Possiamo dedurre:

(vs.Δt′)2-(ΔX′)2-(Δy′)2-(Δz′)2=(vsΔtcoshθ-ΔXsinhθ)2-(-vsΔtsinhθ+ΔXcoshθ)2-(Δy)2-(Δz)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta x') ^ {2} - (\ Delta y ') ^ {2} - (\ Delta z') ^ {2} = (c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta) ^ {2} - (- c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta ) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2} \,.}

Come

(cosh⁡θ)2-(sinh⁡θ)2=1{\ displaystyle \, (\ cosh \ theta) ^ {2} - (\ sinh \ theta) ^ {2} = 1}

finiamo con la formula dell'invarianza annunciata

(vs.Δt′)2-(Δl′)2=(vs.Δt)2-(Δl)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta l') ^ {2} = \, (c. \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta l) ^ { 2} \,.}  

Relazione tra eventi

Il quadrato dell'intervallo spazio-temporale tra due eventi può essere di tre diversi tipi:

• come il tempo,
• tipo di spazio,
• luce gentile.

Il genere di un quadrato dell'intervallo spazio-temporale dipende dal suo segno, e poiché è invariante per cambiamento del sistema di riferimento inerziale, il genere di un intervallo spazio-temporale sarà lo stesso per qualsiasi osservatore. Quindi, possiamo notare che se due eventi sono separati da un intervallo spazio-temporale quadrato di tempo o tipo di luce, possono essere collegati da un nesso causale diretto, d'altra parte se sono separati da uno di tipo spazio, non possono , e questo indipendentemente dall'osservatore e dal suo sistema di riferimento inerziale.

Tempo gentile

Se l'intervallo di tempo cΔt supera la distanza spaziale Δl, si dice che l'intervallo è di tipo temporale e l'intervallo spazio-temporale è positivo:

ΔS2=vs2Δt2-Δl2>0{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2}> 0}

Questo caso corrisponde alla situazione in cui , il che significa che nel quadro di riferimento in cui sono state effettuate le misurazioni, un corpo in movimento che va a velocità costante nella giusta direzione può trovarsi nella posizione esatta e contemporaneamente al primo evento, quindi , dopo il suo spostamento, a quelli del secondo. Di conseguenza nella cornice (inerziale) di questo mobile i due eventi si trovano nello stesso luogo, ma non nello stesso momento. In questo particolare quadro di riferimento, e secondo l'invarianza del quadrato dell'intervallo spazio-temporale, la differenza di tempo che separa i due eventi è chiamata tempo proprio che li separa, ed è data dalla formula: |Δl/Δt|<vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | <c}|Δl/Δt|{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |}Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}

ΔS2=vs2Δt2-Δl2 = vs2Δτ2-0,{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2 } - \, 0 \ ,,}

il che dimostra che il tempo giusto è dato da . Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}Δτ=ΔS2/vs{\ displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ Delta s ^ {2}}} / c}

In questo caso di un tempo- come intervallo , i due eventi possono essere collegati da un nesso causale: attraverso una particella che si muove abbastanza rapidamente da un evento all'altro, o attraverso un influsso veicolata dalla luce passando da uno all'altro e l'effetto di che avrebbe successivamente innescato il secondo evento.

Nella maggior parte dei casi, sulla Terra , le situazioni che si incontrano sono di tipo temporale, poiché le dimensioni del nostro pianeta sono piccole (dell'ordine dei 10.000 km) e che, inoltre, gli eventi considerati dall'uomo generalmente comportano durate dell'ordine del almeno un secondo. Ciò non implica che tutti gli eventi abbiano un nesso causale tra loro, ma che è fisicamente probabile che ne abbiano uno.

Tipo di spazio

Se l'intervallo spaziale Δl prevale sull'intervallo di tempo cΔt , si dice che l'intervallo è di tipo spaziale e il quadrato dell'intervallo spazio-temporale è negativo:

ΔS2 = vs2Δt2-Δl2<0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} <0 \,.}

Questo caso corrisponde alla situazione in cui , il che significa che nel quadro di riferimento in cui sono state effettuate le misurazioni, nessun corpo in movimento che va ad una velocità inferiore a quella della luce né alcun segnale luminoso può trovarsi nel punto esatto e nello stesso momento. rispetto al primo evento, quindi, dopo il suo spostamento o propagazione, a quelli del secondo. Non può quindi esserci alcun nesso causale tra i due eventi. Possiamo mostrare che allora esiste un sistema di riferimento inerziale in cui gli eventi sono simultanei: in questo sistema di riferimento, la differenza di tempo tra i due eventi è zero, quindi |Δl/Δt|>vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |> c}

ΔS2=vs2Δt2-Δl2 = 0-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ \, 0- \ Delta l ^ {2} \ ,}

Quindi, in questo particolare sistema di riferimento inerziale, la differenza di tempo è zero tra gli eventi e la loro distanza spaziale, chiamata distanza propria , èΔl=-ΔS2.{\ displaystyle \ Delta l = {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}}.}

Questa situazione corrisponde all'esperimento mentale del paradosso della scala .

Genere leggero

Se il quadrato dell'intervallo spazio-temporale è zero, significa che la luce percorre esattamente la distanza geometrica tra i due eventi durante il lasso di tempo tra questi due eventi.

ΔS2 = vs2Δt2-Δl2=0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0 \,.}

Questo caso corrisponde alla situazione in cui , il che significa che nel quadro di riferimento in cui sono state effettuate le misurazioni, solo particelle di massa nulla, andando quindi alla velocità della luce , possono unire i due eventi. La velocità della luce essendo la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, è la stessa quando questi eventi sono visti da qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale. Ciò lascia ancora la possibilità di un collegamento causale tra i due eventi, un collegamento che viene stabilito alla velocità della luce. |Δl/Δt|=vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | = c}

Esempio: se l'evento A consiste nell'invio di un segnale laser dalla Terra alla Luna e l'evento B consiste nella ricezione di questo segnale sulla Luna, l'intervallo spazio-temporale tra A e B sarà zero poiché la distanza Δl tra La Terra e la Luna saranno esattamente uguali alla distanza cΔt percorsa dalla luce durante il tempo Δt . In quest'ultimo caso possiamo dire che l'intervallo è di tipo leggero .

Ordine temporale e genere

In linea di principio, i cambiamenti fisicamente realistici del sistema di riferimento rispettano l'orientamento dell'asse del tempo: si presume quindi che viste da un sistema di riferimento o da un altro le lancette di un orologio non cambino il loro senso di rotazione, solo se una mela cade da il suo ramo visto da uno, poi non torna su se visto da un altro. Se sono separati da un intervallo di tempo, tutti gli osservatori osservano lo stesso ordine temporale tra due eventi (ma con intervalli temporali diversi).

D'altra parte, in alcuni casi l'ordine temporale osservato tra due eventi può cambiare da un quadro di riferimento a un altro: se i due eventi sono separati da un intervallo di tipo spaziale, il loro ordine temporale osservato può cambiare da un quadro di riferimento a un altro. 'altro, e ci sono anche archivi per i quali i due eventi sono simultanei.

Una dimostrazione dell'invarianza dell'ordine temporale osservato per il genere temporale

L'invarianza per cambio di quadro di riferimento dell'ordine temporale tra due eventi separati da un intervallo di tipo temporale è in equivalenza tautologica con il principio di non inversione dell'asse temporale per cambio di quadro di riferimento.

Ma potremmo voler convincerci, con alcune considerazioni matematiche, che questa invarianza è effettivamente una conseguenza di questo principio:

Gli unici cambi di quadro di riferimento che la fisica consente rispetto all'orientamento dell'asse temporale e l'orientamento di quadri di riferimento tridimensionali (l'orientamento unanimemente accettato essendo quello della mano destra ), sono anche i continui cambiamenti dal quadro di riferimento riferimento iniziale, e sono chiamate trasformazioni autogene e ortogonali .

Considera una coppia di eventi di tipo temporale tali che l'intervallo Δ t da A a F sia positivo ( t (F) è maggiore di t (A) o F è successivo ad A). Affinché questo intervallo cambi segno (F diventi anteriore ad A) dovrebbe attraversare il valore zero, il che è impossibile. Infatti il ​​quadrato Δ t 2 dell'intervallo di tempo è uguale alla somma di due quadrati secondo la formula ,
vs2Δt2=ΔS2+Δl2{\ displaystyle c ^ {2} \, \ Delta t ^ {2} \, = \, \ Delta s ^ {2} + \ Delta l ^ {2}}

dove il primo termine del secondo membro è strettamente positivo (e invariante per cambiamento del quadro di riferimento) e il secondo termine, quadrato di una distanza euclidea, è positivo o zero. Di conseguenza questo quadrato Δ t 2 non può essere cancellato. Lo stesso vale per l'intervallo di tempo Δ t stesso, il quale, non potendosi annullare, non può cambiare continuamente segno. Quindi, se A precede F per un certo osservatore, sarà sempre lo stesso per qualsiasi osservatore fisicamente ammissibile. Se A era prima di F, F non può agire su A diventando se stesso prima di A.   Una dimostrazione che l'ordine temporale osservato può essere invertito per il genere spaziale

Dati due eventi A e B come nel sistema di riferimento dell'osservatore , e assumendo con una buona scelta dell'asse . (R){\ displaystyle (R)} Δt=tB-tA>0{\ displaystyle \ \ Delta t = t_ {B} -t_ {A}> 0} ΔX=XB-XA>0{\ displaystyle \ \ Delta x = x_ {B} -x_ {A}> 0} X{\ displaystyle \ x}

Si consideri un sistema di riferimento in traslazione rispetto al telaio (R), alla velocità lungo l'asse x, con . (R′){\ displaystyle (R ')}v→=ue→X{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}}0<u<vs{\ displaystyle 0 <u <c}

Secondo trasformazioni di Lorentz , il tempo tra i due eventi, visualizzare il repository è: con: . essendo positivo, che dire del caso negativo? Oro: . Quindi:, quindi i due eventi sono separati da un intervallo simile allo spazio. Una freccia unidirezionale blocca il contrario, ma abbiamo: esiste un numero positivo tale che . Posando si ottiene e si può sempre costruire un referenziale nella traduzione alla velocità per la quale . (R′){\ displaystyle (R ')}
Δt′=γ(Δt-u.ΔXvs2),{\ displaystyle \ Delta t '= \ gamma (\ Delta t - {\ frac {u. \ Delta x} {c ^ {2}}}) \ ,,}γ=(1-u2/vs2)-1/2>0{\ displaystyle \, \ gamma = \ sinistra (1-u ^ {2} / c ^ {2} \ destra) ^ {- 1/2}> 0}
Δt{\ displaystyle \ Delta t}Δt′{\ displaystyle \ Delta t '}
Δt′<0⟺Δt<uvs2ΔX⟺vs2u<ΔXΔt.{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \;.}
0<u<vs⟺vs<vs2u{\ displaystyle 0 <u <c \ Longleftrightarrow c <{\ frac {c ^ {2}} {u}}}
Δt′<0⟺Δt<uvs2ΔX⟺vs2u<ΔXΔt⇒vs<ΔXΔt⟺vs2.Δt2-ΔX2<0{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Longleftrightarrow c ^ {2}. \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} <0}
⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}vs<ΔXΔt⇒{\ displaystyle c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow}ϵ<1{\ displaystyle \ epsilon <1}vs<ϵ.ΔXΔt<ΔXΔt{\ displaystyle c <\ epsilon. {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}} u=vs.ϵ<vs{\ displaystyle \ u = c. \ epsilon <c}vs2u<ΔXΔt{\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {u}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}(R′){\ displaystyle (R ')}v→=ue→X{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}} Δt′<0{\ displaystyle \ \ Delta t '<0}

Notare che in questo modo possiamo anche determinare un quadro di riferimento per il quale i due eventi sono simultanei.  

Il cono di luce

Se fissiamo un particolare evento O come oggetto di studio, possiamo dividere lo spazio-tempo in regioni raggruppando gli eventi che sono separati da O da un intervallo spazio-temporale simile al tempo, quelli che sono separati da O da una luce genere e quelli che sono separati da O da un genere spaziale. Questa partizione spazio-temporale quadridimensionale assume la forma di un cono tridimensionale: l'interno corrisponde al primo caso, il bordo al secondo e l'esterno al terzo. Queste regioni corrispondono alle diverse possibilità di nesso causale con l'evento O.

Ovviamente ogni evento ha il suo cono di luce.

La difficoltà di rappresentazione è che quattro coordinate, una del tempo e tre dello spazio, sono necessarie per caratterizzare un evento e che è impossibile rappresentare un punto con quattro coordinate nel nostro spazio tridimensionale. Per il grafico, riduciamo quindi il numero di dimensioni spaziali a 2.

Metrico

Lo spazio-tempo della relatività speciale è dotato dal quadrato dell'intervallo spazio-temporale di una specie di distanza che è invariante per cambiamento del quadro di riferimento. Visto in questo modo, l'intervallo spazio-temporale può essere considerato come una metrica dello spazio, dalla quale si dimostrano alcune proprietà matematiche dello spazio e della teoria relativistica.

Quando i due eventi A e B tra i quali si calcola il quadrato dell'intervallo spazio-temporale sono molto vicini, le loro coordinate differiscono quindi solo per quantità infinitesime . Questa considerazione è superflua nella relatività speciale il cui spazio è affine , ma è indispensabile nella relatività generale il cui spazio è una varietà curva dove il non può essere definito con rigore, ma dove gli elementi infinitesimali sono definibili e appartengono allo spazio tangente . (dXμ)=(vsdt,dX,dy,dz){\ displaystyle \ scriptstyle (dx ^ {\ mu}) \, = \, (c \, dt, dx, dy, dz)} (ΔXμ){\ displaystyle \ scriptstyle (\ Delta x ^ {\ mu}) \,}(dXμ){\ displaystyle (dx ^ {\ mu})}

Nella relatività speciale, il quadrato dell'intervallo infinitesimo spazio-tempo è quindi: . dS2=vs2dt2-dX2-dy2-dz2{\ displaystyle \, ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

La metrica della relatività generale può essere definita da quella della relatività speciale, tenendo conto del principio di equivalenza e del principio di relatività generalizzato a tutti i sistemi di riferimento, ed è un elemento base (dal punto di vista matematico) per la costruzione di questa teoria. Permette la definizione dell'elemento infinitesimale del quadrato dell'intervallo spazio-temporale in questa teoria.

Nella relatività generale, la formula per il quadrato dell'intervallo spazio-temporale infinitesimale è , dove i coefficienti della metrica , variano da un punto all'altro nello spazio-tempo, a seconda della curvatura dello spazio. dS2=∑μ=03∑ν=03gμν dXμ dXν{\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d} } x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Scriviamo anche con la convenzione di Einstein per le sommatorie: . dS2=gμν dXμ dXν{\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}

Ma questa definizione da elementi infinitesimali e la curvatura dello spazio-tempo rendono difficile giustificare proprietà simili a quelle esposte nei paragrafi precedenti, se non localmente. Tuttavia, da un evento O, possiamo sempre fare la partizione dello spazio-tempo nel suo insieme in eventi legati a O da una geodetica del tipo di tempo, luce o spazio (il tipo corrispondente al segno costante della geodetica lunga) . dS2{\ displaystyle ds ^ {2}}

Caso di invarianza come ipotesi

Se l'invarianza del quadrato dell'intervallo spazio-temporale, mediante cambiamento del quadro di riferimento, è posta come ipotesi iniziale nella teoria della relatività, le deduzioni che se ne ricavano sono quindi matematicamente coerenti con la teoria, ma alcune devono essere scartato per motivi fisici.

Nella relatività speciale

Identificare lo spazio fisico con uno spazio matematico quadridimensionale dotato di una distanza simile (diciamo anche pseudo-norma ) porta a identificare i benchmark dello spazio quadridimensionale affine e le strutture di riferimento inerziali della fisica, e ricercando tutti i cambiamenti di quadri di riferimento aventi la proprietà di lasciare invariante l'intervallo spazio-temporale, ne troviamo alcuni che, pur essendo coerenti con la matematica della teoria relativistica, non possono essere trattenuti come cambiamenti fisicamente realistici di quadro di riferimento perché non rispettano la convenzione di orientamento di punti di riferimento tridimensionali (l'orientamento unanimemente accettato è quello della mano destra ) o quello dell'orientamento dell'asse temporale (verso il futuro ).

Le trasformazioni che preservano gli orientamenti dello spazio e del tempo sono le trasformazioni di Lorentz stabilite sin dall'inizio da Lorentz, e sono chiamate, nell'ambito di questa problematica, trasformazioni di Lorentz proprie e ortogonali . Le altre trasformazioni non sono usate nella fisica relativistica ma sono usate nella fisica quantistica relativistica per sfruttare le simmetrie matematiche delle equazioni. Ad esempio, la simmetria T e la parità sono interpretate come semplici cambiamenti nella convenzione degli orientamenti degli assi delle coordinate spaziali e temporali. Pertanto, la simmetria P cambia la convenzione della scelta dei sistemi di riferimento da parte della mano destra nella convenzione della scelta della mano sinistra.

Nella relatività generale

Nella relatività generale , essendo lo spazio-tempo essenzialmente strutturato dall'algebra, è necessario prestare attenzione per escludere ipotesi o risultati matematicamente corretti ma fisicamente irrealistici. Ciò è vero in particolare per il quadrato dell'intervallo spazio-temporale che è un elemento fondante della teoria (dal punto di vista matematico) a causa della sua invarianza per cambiamento del quadro di riferimento e del suo legame con la gravitazione (che è una manifestazione di curvatura). Già, formano una matrice che deve avere un determinante negativo per avere un significato fisico. dS2=gμν dXμ dXν{\ displaystyle \ textstyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Pertanto, in un quadro di riferimento realistico per un osservatore, se la coordinata corrisponde alla misura del tempo e le coordinate corrispondono a qualsiasi quadro di riferimento spaziale, i termini devono verificare , così come per k = 1, 2, 3 (in breve: la firma deve rimanere invariata rispetto a quella della metrica Minkowski). X0{\ displaystyle x_ {0}}X1;X2;X3{\ displaystyle x_ {1}; x_ {2}; x_ {3}}gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}g00>0{\ displaystyle g_ {00}> 0}gKK<0{\ displaystyle g_ {kk} <0}

Tuttavia, per determinare le proprietà dello spazio-tempo, la matematica della relatività generale consente l'utilizzo di qualsiasi sistema di riferimento in questo spazio quadridimensionale, senza l'obbligo di preoccuparsi del realismo e in questo caso i coefficienti non sono soggetti a questi vincoli. gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Note e riferimenti

1. La convenzione corrisponde alla scelta operata nei testi anglosassoni; la convenzione corrisponde alla scelta fatta nei famosi testi pedagogici di Lev Landau , per esempio. Quest'ultima scelta è considerata "più fisica" da Roger Penrose perché la metrica è positiva per le linee dell'universo di tipo tempo, che sono le uniche ammesse per le particelle massicce. (-;+;+;+){\ displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}
2. Vedi, ad esempio, Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ dettaglio delle edizioni ], volume 2 "teoria dei campi", capitolo 1, §2.
3. vedi eg (in) EF Taylor, JA Wheeler, Spacetime Physics, Introduction to special relativity, seconda edizione, Freeman 1992
4. Vedi Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ dettaglio delle edizioni ] Volume 2, §2
5. Nella dimensione geometrica del sistema di unità geometriche della relatività generale si dice che l'intervallo cΔt è temporale.
6. Poiché il tempo è uno spazio matematico di una sola dimensione, la direzione e l'unità del tempo sono definibili a partire da due eventi qualsiasi di tipo tempo e successivi (le posizioni successive delle lancette di un orologio, l'inizio e la fine caduta di una mela, o ...). Qualsiasi durata del tempo essendo per ipotesi misurabile da questa unità, la non inversione dell'asse del tempo è equivalente alla non inversione di questa unità orientata, e questo impone la non inversione di qualsiasi durata utilizzabile come unità di tempo orientata, quindi di nessuna inversione di tempo tra due eventi di tipo temporale .
7. In questa teoria, la curvatura è l'espressione geometrica della gravità .
8. L' universo di Gödel è un esempio di teoria compatibile con la relatività generale e dove le proprietà della relatività speciale sono valide solo localmente: ad esempio la distinzione tra passato e futuro.
9. La conservazione di questi orientamenti come motivo di questa selezione è presentata nel capitolo 1, §1.3 di (en) The geometry of Minkowski Spacetime di Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN  3540978488 ) , 1992.
10. Ciò è dovuto al fatto che questa matrice è diagonalizzabile e che la sua forma diagonale deve corrispondere alla matrice di una metrica equivalente a quella di Minkowski .
11. Il realismo di un sistema di riferimento può essere inteso come: c'è un osservatore per il quale una coordinata dà il tempo misurato e tre danno lo spazio, con gli orientamenti validi già nella relatività speciale.
12. che formano quello che viene chiamato il tensore metrico e che riflettono la curvatura dello spazio-tempo
13. Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ dettaglio delle edizioni ], Volume 2 "Teoria dei campi", da §82 a §84
14. Un esempio di quadro di riferimento non realistico si ottiene sostituendo la coordinata temporale con una coordinata che segue una geodetica di tipo luce.

Vedi anche

• Tensore metrico
• Tempo pulito
• Paradosso del treno
• Paradosso dei gemelli