Disuguaglianza di interpolazione di Gagliardo-Nirenberg

In matematica , la disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg è una stima delle derivate deboli di una data funzione. Coinvolge le norme $L ^ {{p}}$ della funzione così come le sue derivate. Questo è un risultato particolarmente importante della teoria delle equazioni alle derivate parziali . Questa disuguaglianza è stata proposta da Louis Nirenberg e Emilio Gagliardo .

stati

Sia C ∞ una funzione con supporto compatto , due numeri reali e un intero . Sia un numero reale e un numero naturale tale che ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 1 \ leq q, r \ leq \ infty}$ $m$ $\alfa$ $j$

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} = {\ frac {j} {n}} + \ left ({\ frac {1} {r}} - {\ frac {m} {n}} \ destra) \ alpha + {\ frac {1- \ alpha} {q}}}

{\ displaystyle {\ frac {j} {m}} \ leq \ alpha \ leq 1.}

Allora esiste una costante dipendente da e tale che $VS$ ${\ displaystyle m, \ n, \ j, \ q, \ r}$ $\alfa$

${\ displaystyle \ | \ mathrm {D} ^ {j} u \ | _ {L ^ {p}} \ leq C \ | \ mathrm {D} ^ {m} u \ | _ {L ^ {r}} ^ {\ alpha} \ | u \ | _ {L ^ {q}} ^ {1- \ alpha}.}$

Nota

Per una dimostrazione di questa disuguaglianza, vedere il Teorema 9.3. La prima condizione è l'omogeneità in . La seconda condizione esprime che a fissata omogeneità, non può superare il valore di interpolazione con , ie . Il caso limite proibito è quando ha la stessa omogeneità di , tranne nel caso in cui il risultato sia banale (integrando i tempi). $\alfa$ $X$ $j$ $\alfa$ ${\ Displaystyle j \ leq \ alpha \ m}$ $p = \ infty$ ${\ displaystyle \ | \ mathrm {D} ^ {m} u \ | _ {L ^ {r}}}$ $r = 1$ ${\ displaystyle mj}$

Conseguenze

Infatti , la norma di nella parte destra della disuguaglianza in basso non appare più. In questo caso troviamo le iniezioni di Sobolev ( fr ) . $\ alpha = 1$ ${\ displaystyle L ^ {q}}$ $u$
Un altro caso speciale della disuguaglianza di interpolazione Gagliardo - Nirenberg è la disuguaglianza di Ladyzhenskaya (en) , che si ottiene per o e . ${\ displaystyle m = 1,}$ ${\ displaystyle j = 0,}$ $n = 2$ ${\ displaystyle 3,}$ ${\ displaystyle q = r = 2,}$ $p = 4$

Riferimenti

(in) L. Nirenberg, " equazioni differenziali ellittiche di tipo We " , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa , vol. 13, n o 3,1959, p. 115–162.
(in) Thierry Cazenave Semilinear Schrodinger equations , New York / Providence (RI), Courant Lecture Notes in Mathematics, vol 10, Courant Institute of Mathematical Sciences della New York University, New York; American Mathematical Society, Providence, RI,2003, 323 p. ( ISBN 0-8218-3399-5 , leggi online ) , p. 9.
Jean Ginibre, Introduzione alle equazioni di Schrödinger non lineari, corso DEA 1994-1995 , Orsay, Università di Parigi-Sud,1998, 147 p. ( ISBN 978-2-87800-147-1 e 2-87800-147-8 ) , p. 13
(in) Avner Friedman, Equazioni alle derivate parziali , Dover Books on Mathematics, Dover Publications,2008, 262 p. ( ISBN 978-0-486-46919-5 e 0-486-46919-0 , leggi online ) , p. 24.

Vedi anche

Bibliografia

(en) LC Evans, Equazioni differenziali parziali , Graduate Studies in Mathematics , American Mathematical Society, 2010, 2a edizione
(en) Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation spaces , Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, vol 3, Springer, 2007, 1st edition
(it) Robert A. Adams e John JF Fournier, spazi di Sobolev, Academic Press, 2003, 2 ° edizione