Identità degli otto quadrati di Degen
In matematica , e più specificamente in algebra , l' identità degli otto quadrati di Degen mostra che il prodotto di due numeri, ciascuno dei quali è una somma di otto quadrati, è esso stesso una somma di otto quadrati.
Identità degena
Se a i e b j sono numeri interi, reali o complessi, o più in generale elementi di un anello commutativo , abbiamo:
(a12+a22+a32+a42+a52+a62+a72+a82)(b12+b22+b32+b42+b52+b62+b72+b82)={\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4-a5b5-a6b6-a7b7-a8b8)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}
(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3+a5b6-a6b5-a7b8+a8b7)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}
(a1b3-a2b4+a3b1+a4b2+a5b7+a6b8-a7b5-a8b6)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}
(a1b4+a2b3-a3b2+a4b1+a5b8-a6b7+a7b6-a8b5)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}
(a1b5-a2b6-a3b7-a4b8+a5b1+a6b2+a7b3+a8b4)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}
(a1b6+a2b5-a3b8+a4b7-a5b2+a6b1-a7b4+a8b3)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}
(a1b7+a2b8+a3b5-a4b6-a5b3+a6b4+a7b1-a8b2)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}
(a1b8-a2b7+a3b6+a4b5-a5b4-a6b3+a7b2+a8b1)2{\ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}
Questa identità, scoperta da Carl Ferdinand Degen (da) intorno al 1818, fu riscoperta indipendentemente da John Thomas Graves (in) (1843) e Arthur Cayley (1845). Questi ultimi l'ottennero mentre studiavano un'estensione dei quaternioni , gli ottoni ; questo mezzo di identità nel fatto che il livello di octonions è moltiplicativo, vale a dire, la norma di prodotto due octonions è il prodotto dei loro standard: . Identità analoghe sono legate alla norma quaternione (l' identità dei quattro quadrati di Eulero ) e al modulo dei numeri complessi (l' identità di Brahmagupta‖uv‖=‖u‖‖v‖{\ displaystyle \ | uv \ | = \ | u \ | \ | v \ |}). Tuttavia, nel 1898, Adolf Hurwitz dimostrò che le sedenioni non potevano essere usate per generalizzare ulteriormente queste formule, e infatti che non c'era identità bilineare per un numero qualsiasi di quadrati diverso da 1, 2, 4 e 8 ..
Nota che ogni quadrante si riduce a una variante dell'identità dei quattro quadrati di Eulero :
(a12+a22+a32+a42)(b12+b22+b32+b42)={\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + \,}
(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} + \,}
(a1b3-a2b4+a3b1+a4b2)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + \,}
(a1b4+a2b3-a3b2+a4b1)2{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2} \,},
e
(a52+a62+a72+a82)(b12+b22+b32+b42)={\ displaystyle (a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}(a5b1+a6b2+a7b3+a8b4)2+{\ displaystyle (a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}
(a5b2-a6b1+a7b4-a8b3)2+{\ displaystyle (a_ {5} b_ {2} -a_ {6} b_ {1} + a_ {7} b_ {4} -a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}
(a5b3-a6b4-a7b1+a8b2)2+{\ displaystyle (a_ {5} b_ {3} -a_ {6} b_ {4} -a_ {7} b_ {1} + a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}
(a5b4+a6b3-a7b2-a8b1)2{\ displaystyle (a_ {5} b_ {4} + a_ {6} b_ {3} -a_ {7} b_ {2} -a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,},
e lo stesso per gli altri due quadranti.
Riferimenti
-
Pascal Boyer, piccolo compagno di numeri e le loro applicazioni , Calvage e Mounet,2019, 648 p. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. Aritmetica di ℤ, cap. 4.3. ("Teorema di Hurwitz (1, 2, 4, 8)"), p. 67-70.
Vedi anche
Articoli Correlati
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