Identità di Binet-Cauchy

In matematica , e più particolarmente in algebra , l' identità di Binet-Cauchy , dovuta a Jacques Philippe Marie Binet e Augustin-Louis Cauchy , dice che:

(∑io=1nonaiovsio)(∑j=1nonbjdj)=(∑io=1nonaiodio)(∑j=1nonbjvsj)+∑1≤io<j≤non(aiobj-ajbio)(vsiodj-vsjdio){\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} d_ {j} {\ biggr)} = {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} c_ {j} {\ biggr)} + ​​\ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

per qualsiasi insieme di numeri reali o complessi (o, più in generale, di elementi di un anello commutativo ). Nel caso particolare in cui a i  =  c i e b j  =  d j , si riduce all'identità di Lagrange .

Relazione con l'algebra esterna

Utilizzando il prodotto scalare e il prodotto esterno (che viene identificato, per n = 3, con il prodotto incrociato ), l'identità può essere scritta

(a⋅vs)(b⋅d)=(a⋅d)(b⋅vs)+(a∧b)⋅(vs∧d){\ displaystyle (a \ cdot c) (b \ cdot d) = (a \ cdot d) (b \ cdot c) + (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) \,}

dove a , b , c e d sono vettori con n coordinate. Possiamo ancora vederlo come una formula che fornisce il prodotto scalare di due prodotti esterni in funzione dei prodotti scalari:

(a∧b)⋅(vs∧d)=(a⋅vs)(b⋅d)-(a⋅d)(b⋅vs).{\ Displaystyle (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) = (a \ cdot c) (b \ cdot d) - (a \ cdot d) (b \ cdot c). \,}

Nel caso particolare delle pari vettori ( a = c e b = d ), la formula diventa ( Lagrange identità )

|a∧b|2=|a|2|b|2-|a⋅b|2{\ displaystyle | a \ wedge b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | a \ cdot b | ^ {2}}

Dimostrazione

Sviluppando l'ultimo termine, e aggiungendo e sottraendo somme complementari ben scelte, otteniamo:

∑1≤io<j≤non(aiobj-ajbio)(vsiodj-vsjdio){\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

=∑1≤io<j≤non(aiovsiobjdj+ajvsjbiodio)+∑io=1nonaiovsiobiodio-∑1≤io<j≤non(aiodiobjvsj+ajdjbiovsio)-∑io=1nonaiodiobiovsio{\ displaystyle = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} + a_ {j} c_ {j} b_ {i} d_ { i}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {i} d_ {i} - \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ { i} d_ {i} b_ {j} c_ {j} + a_ {j} d_ {j} b_ {i} c_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {i} c_ {i}}

che permette di raggruppare insieme:

=∑io=1non∑j=1nonaiovsiobjdj-∑io=1non∑j=1nonaiodiobjvsj.{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {j} c_ {j}.}

Considerando i termini indicizzati da i , i risultati dell'identità.

Generalizzazione

Una forma più generale, nota come formula di Binet-Cauchy , dice che, se A è una matrice m × n e B è una matrice n × m , abbiamo

det(AB)=∑S⊂{1,...,non}|S|=mdet(AS)det(BS),{\ displaystyle \ det (AB) = \ sum _ {\ scriptstyle S \ subset \ {1, \ ldots, n \} \ atop \ scriptstyle | S | = m} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S}),}

dove, essendo S un sottoinsieme di {1, ..., n } avente m elementi, A S è la matrice m × m le cui colonne sono quelle di A aventi i loro indici in S , e allo stesso modo B S è la matrice m × m formato da righe di B di indici in S  ; in questa formula, la somma viene presa su tutti i possibili sottoinsiemi.

L'identità di Binet-Cauchy è dedotta da questo come un caso particolare, posando

A=(a1...anonb1...bnon),B=(vs1d1⋮⋮vsnondnon).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & \ dots & a_ {n} \\ b_ {1} & \ dots & b_ {n} \ end {pmatrix}}, \ quad B = {\ inizio {pmatrix} c_ {1} & d_ {1} \\\ vdots & \ vdots \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix}}.}

Note e riferimenti

• (en) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “  Binet - Cauchy identity  ” ( vedi l'elenco degli autori ) .

1. (a) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press , 2003, 2 °  ed. , 3242  p. ( ISBN  978-1-58488-347-0 ) , "Binet-Cauchy identity" , p.  228