Formule Binet

In fisica , nella meccanica classica , le formule di Binet sono espressioni della velocità e dell'accelerazione di un corpo soggetto a una forza centrale come la gravità o un campo elettrostatico . Sono stati introdotti da Jacques Philippe Marie Binet .

Consentono di esprimere, in coordinate polari , la posizione di un mobile in funzione dell'angolo da esso formato. In effetti, l'espressione in funzione del tempo è molto più difficile da stabilire. In particolare, le formule di Binet permettono di dimostrare che, in un campo di forza centrale a , le traiettorie sono coniche . ${\ frac {K} {r ^ {2}}}$

Formule Binet

Per prima cosa consideriamo il caso attraente. Impostando , notando , ed esprimendo la costante di aree , in base alla seconda legge di Keplero , siamo in grado di dimostrare che: $\ \ u: = {\ frac {1} {r}} \ \$ $\ \ {\ dot {x}}: = {\ frac {dx} {dt}} \ \$ $\ \ x ': = {\ frac {dx} {d \ theta}} \ \$ $C = r ^ {2} {\ dot \ theta} = {\ frac {L_ {O}} {m}} \;$

{\ vec {v}} = - Cu '\; {\ vec {e_ {r}}} + Cu \; {\ vec {e _ {{\ theta}}}}

;

{\ vec {a}} = - C ^ {2} u ^ {2} \ sinistra (u '' + u \ destra) \; {\ vec {e_ {r}}}

L'accelerazione è quindi radiale come la forza a cui è sottoposto il corpo. Nel caso repulsivo, i componenti secondo e r sarebbero positivi, il corpo studiato si allontanerebbe dal centro di forza.

Dimostrazione

Abbiamo ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {(r {\ vec {e_ {r}}})}} = {\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} + r {\ dot {\ vec {e_ {r}}}} = {\ dot {\ left ({\ frac {1} {u}} \ right)}} {\ vec {e_ {r}}} + {\ frac {1} {u}} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e _ {\ theta}}} = - {\ frac {\ dot {u}} {u ^ {2}}} {\ vec {e_ {r}}} + {\ frac {\ dot {\ theta}} {u}} {\ vec {e _ {\ theta}}}}$

Oro e ${\ dot u} = {\ frac {du} {dt}} = {\ frac {du} {d \ theta}} {\ frac {d \ theta} {dt}} = u '{\ dot \ theta}$ $C = {\ frac {L_ {O}} {m}} = r ^ {2} {\ dot \ theta} = {\ frac {{{\ dot \ theta}} {u ^ {2}}}$

pertanto ${\ vec {v}} = - {\ frac {u '} {u ^ {2}}} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} + Cu {\ vec {e_ { {\ theta}}}} = - Cu '\; {\ vec {e_ {r}}} + Cu \; {\ vec {e _ {{\ theta}}}} \;$

Allo stesso modo andiamo alla deriva per ottenere . ${\ vec {vb}}$ ${\ vec {a}}$

${\ vec {a}} = C \ sinistra (- {\ dot {u '\; {\ vec {e_ {r}}}}} + {\ dot {u {\ vec {e _ {{\ theta} }}}}} \ right) = C \ left (- {\ dot {u '}} {\ vec {e_ {r}}} - u' {\ dot {\ theta}} {\ vec {e _ { {\ theta}}}} + {\ dot {u}} {\ vec {e _ {{\ theta}}}} - u {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} \ destra) = C \ sinistra (- {\ dot {\ theta}} u '' {\ vec {e_ {r}}} - u {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} \ giusto)$ $= -C ^ {2} u ^ {2} \ sinistra (u '' + u \ destra) \; {\ vec {e_ {r}}}$

Traiettorie coniche

Consideriamo qui il caso attraente, il caso repulsivo che dà esattamente lo stesso risultato. Usando la seconda legge di Newton, abbiamo:

m {\ vec {a}} = {\ frac {-K} {r ^ {2}}} \; {\ vec {e_ {r}}} = - u ^ {2} K \; {\ vec { e_ {r}}}

Inserendo l'espressione per l'accelerazione e la sostituzione di , quindi infine proiettando secondo , abbiamo: ${\ frac {1} {r}}$ $u$ ${\ vec {e_ {r}}}$

mC ^ {2} \ sinistra (u '' + u \ destra) = K

, o ancora:

u '' + u = {\ frac {K} {mC ^ {2}}}

Questa equazione differenziale è facilmente integrabile: è un oscillatore armonico . Otteniamo :

u (\ theta) = A \ cos (\ theta + \ phi) + B

, con

B = {\ frac {K} {mC ^ {2}}}

Tornando all'espressione per r , abbiamo:

r (\ theta) = {\ frac {1} {B + A \ cos (\ theta + \ phi)}}

Esprimendo il parametro e l'eccentricità si ottiene: $p = {\ frac {mC ^ {2}} {K}}$ $e = pA$

r (\ theta) = {\ frac {p} {1 + e \ cos (\ theta + \ phi)}}

È infatti l'espressione di una sezione conica in coordinate polari, la cui esatta natura - parabola , iperbole o ellisse - dipende dalle condizioni iniziali.

Vedi anche