Funzione di variazione delimitata

In analisi , si dice che una funzione ha una variazione limitata quando soddisfa una certa condizione di regolarità. Questa condizione fu introdotta nel 1881 dal matematico Camille Jordan per estendere il teorema di Dirichlet sulla convergenza delle serie di Fourier .

Definizione

Sia f una funzione definita su un insieme totalmente ordinato T e con valori in uno spazio metrico ( E , d ).

Per ogni suddivisione σ = ( x 0 , x 1 ,…, x n ) di qualsiasi intervallo di T , definiamo V ( f , σ) da:

V(f,σ)=∑io=1nond(f(Xio-1),f(Xio)).{\ Displaystyle V (f, \ sigma) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} d (f (x_ {i-1}), f (x_ {i})).}

Chiamiamo variazione totale di f su T il valore V T ( f ) ∈ ℝ definito da:

VT(f)=supσV(f,σ).{\ displaystyle V_ {T} (f) = \ sup _ {\ sigma} V (f, \ sigma).}

Diciamo che f ha una variazione limitata se questo limite superiore V T ( f ) è finito, in altre parole se l '“arco” (non necessariamente continuo) definito da f è rettificabile nel senso di Jordan .

Interesse del concetto

Le funzioni monotone formano un'importante classe di funzioni in analisi. Tuttavia, ha l'inconveniente di non essere invariante per operazioni algebriche di base: la somma di due funzioni monotone, ad esempio, non è necessariamente monotona. Poiché qualsiasi funzione con variazioni limitate è la somma di due funzioni monotone e viceversa , le funzioni con variazioni limitate possono essere viste come una generalizzazione delle funzioni monotone ma con il vantaggio che l'insieme di funzioni con variazioni limitate fornite con l'addizione o con la moltiplicazione forma un anello  : la somma e il prodotto di due funzioni con variazioni limitate è con variazioni limitate.

Proprietà

• La variazione totale (finita o infinita) di una funzione continua f su un segmento reale [ a , b ] non è solo il limite superiore di V ( f , σ) quando σ attraversa le suddivisioni di [ a , b ], ma anche la loro limite, quando il passo della suddivisione σ tende a 0. Deduciamo che per una funzione continua con variazione limitata f , l'applicazione t ↦ V [ a , t ] ( f ) è continua.
• Se φ è una biiezione crescente altro insieme ordinato S a T , la variazione totale di f ∘φ su S è uguale a quella di f su T .
• Per vettoriale normato spazio E , le funzioni variazione limitata formano un sottospazio dello spazio delle funzioni T in E .
• Qualsiasi funzione F assolutamente continua (in particolare qualsiasi funzione Lipschitziana ) ha variazione limitata. In altre parole: se f è integrabile nel senso di Lebesgue su un intervallo I allora, per un fisso in I , la funzione X↦F(X)=∫aXf(t) dt{\ displaystyle x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t} è una variazione limitata. In effeti,VaX(F)≤∫aX|f(t)|dt≤∫io|f(t)| dt.{\ Displaystyle V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ verde ~ \ mathrm {d} t.}
• Viene impostata qualsiasi funzione con variazione limitata (es. Limite uniforme di una serie di funzioni scala ).
• Le funzioni con variazione limitata di un segmento reale in ℝ sono esattamente le differenze di due funzioni crescenti (tale scomposizione f = g - h è lungi dall'essere unica; se f è continua, g e h possono essere scelte continue: dall'esempio h ( t ) = V [ un , t ] ( f ) e g = f + h ). Se ne deduce che le loro dis continuità sono inessenziali e formano un insieme ai più numerabile e che queste funzioni sono derivabili quasi ovunque (nel senso della misura di Lebesgue ), da localmente integrabili derivati .
• Ci sono funzioni derivabili con variazione totale infinito, come la funzione f definita su [-1, 1] di f ( x ) = x 2 cos 2 (π / x 2 ) se x ≠ 0 e f (0) = 0 .

Generalizzazione a funzioni multivariate

Una definizione estesa a funzioni con più variabili può essere fatta dalla variazione di Vitali. Proposto da Vitali, è stato rilevato da Lebesgue e Fréchet.

Sia f una funzione definita su un blocco . Notiamo : [a1,b1]×⋯×[anon,bnon]⊆Rnon{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

ΔhK(f,X)=f(X1,X2,⋯,XK+hK,⋯,Xnon)-f(X1,X2,⋯,XK,⋯,Xnon){\ displaystyle \ Delta _ {h_ {k}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n} ) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})}

quindi, ricorsivamente,

Δh1,h2,⋯,hK(f,X)=ΔhK(Δh1,h2,⋯,hK-1,X).{\ displaystyle \ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}} (f, x) = \ Delta _ {h_ {k}} (\ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k-1}}, x).}

Quindi ci diamo sequenze di punti in ciascuna direzione e le associamoπK{\ displaystyle \ pi _ {k}}aK=tK1<tK2<⋯<tKNONK+1=bK{\ displaystyle a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {N_ {k} +1} = b_ {k}}hKio=tKio+1-tKio.{\ displaystyle h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {i + 1} -t_ {k} ^ {i}.}

La variazione del senso di f di Vitali è data da:

Vnon(f)=sup(π1,...πnon)∑K=1non∑ioK=1NONK|Δh1io1,h2io2,⋯,hKioK(f,(X1io1,X2io2,⋯,XKioK))|{\ displaystyle V ^ {n} (f) = \ sup _ {(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {N_ {k}} \ left | \ Delta _ {h_ {1} ^ {i_ {1}}, h_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, h_ {k} ^ {i_ {k}}} \ left (f, (x_ {1} ^ {i_ {1}}, x_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, x_ {k} ^ { i_ {k}}) \ right) \ right |}

Questa definizione di variazione può essere estesa attraverso la definizione di variazione di Hardy-Krause:

La variazione di Hardy-Krause di f è data da:

V(f)=∑Vnon(f){\ Displaystyle V (f) = \ sum V ^ {n} (f)}

dove si somma su tutte le facce di tutti i sottointervalli del blocco di dimensione minore o uguale a n .[a1,b1]×⋯×[anon,bnon]⊆Rnon{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Note e riferimenti

Appunti

1. Controesempio  : Le funzioni f  : x ↦ -x e g  : x ↦ x 3 sono entrambe monotone ma f + g non lo è.

Riferimenti

1. Godfrey Harold Hardy ( tradotto  dall'inglese da Alexandre Moreau), "Camille Jordan" , in Matematica e matematici , Nitens,2018( 1 °  ed. 1922) ( ISBN  9.782.901,122005 millions ).
2. Gustave Choquet , Analysis Course, Volume II: Topology , p. 99-106.
3. Xavier Gourdon, Maths in mind: Analysis , Paris, Ellipses,2008, 2 °  ed. ( 1 a  ed. 1994), 432  p. ( ISBN  978-2-7298-3759-4 ) , cap.  2 ("Funzioni di una variabile reale").
4. (in) J. Yeh , Real Analysis: Theory of Measure and Integration , World Scientific,2006, 2 °  ed. , 738  p. ( ISBN  978-981-256-653-9 , leggi online ) , p.  265 : "  Decomposizione Jordan delle funzioni di variazione delimitata  "
5. (it) G. Vitali , "  Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali  " , Atti Accad. Sci. Torino , vol.  43,1908, p.  229-246
6. (De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Band. ,1921

Link esterno

(en) "Funzione di variazione limitata" , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , leggi in linea )

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