Teorema di Dirichlet (serie di Fourier)
In analisi , il teorema di Dirichlet (o Jordan-Dirichlet ) è il risultato della convergenza dei punti per le serie di Fourier .
Una prima versione del teorema fu dimostrata da Dirichlet nel 1829 . In assenza di un'adeguata teoria dell'integrazione , la dimostrazione di Dirichlet ci consente di trattare solo funzioni abbastanza particolari ( monotone al di fuori dei punti di una suddivisione).
Il teorema sarà generalizzato da Jordan nel 1881 per comprendere il caso di tutte le funzioni di " variazione localmente limitata ".
stati
Sia ƒ una funzione integrabile localmente su e con periodo 2π . In entrambi i casi . Pensiamo che:
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}X0∈R{\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R}}
- ƒ ammette limiti a destra ea sinistra in x 0 , indicati con ƒ ( x 0 + ) e ƒ ( x 0 - );
- esiste α> 0 tale che convergono i seguenti integrali:
∫0α|f(X0+t)-f(X0+)|tdt,∫0α|f(X0-t)-f(X0-)|tdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ alpha} {\ frac {| f (x_ {0} + t) -f (x_ {0} ^ {+}) |} {t}} {\ mathrm { d}} t, \ qquad \ int _ {0} ^ {\ alpha} {\ frac {| f (x_ {0} -t) -f (x_ {0} ^ {-}) |} {t}} {\ mathrm {d}} t}.
Quindi, la serie di Fourier di ƒ converge nel punto x 0 e ammette come limite
limnon(Snonf(X0))=f(X0+)+f(X0-)2{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {n} (S_ {n} f (x_ {0})) = {\ frac {f (x_ {0} ^ {+}) + f (x_ {0} ^ {- })} {2}}}.
In particolare, il teorema si applica quando la funzione ammette derivate a destra ea sinistra in x 0 (senza necessariamente essere continua: queste sono le derivate a destra ea sinistra delle restrizioni), ed in particolare quando è classificata a pezzi.
VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}
Dimostrazione
La dimostrazione del teorema si basa sul fatto che la serie di Fourier è calcolata per prodotto della convoluzione con un polinomio trigonometrico con proprietà notevoli: il kernel di Dirichlet .
Dnon(X)=∑K=-nonnoneioKX=peccato((non+12)X)peccato(X/2),{\ displaystyle D_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) x \ right)} {\ sin (x / 2)}},}
Snon(f)(X)=12π∫-ππf(t)Dnon(X-t)dt=12π∫-ππDnon(t)f(X-t)dt{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) D_ {n} (xt) dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} D_ {n} (t) f (xt) dt}
Usiamo la seconda scrittura del kernel Dirichlet
Snon(f)(X)=12π∫-ππpeccato((non+12)t)f(X-t)peccatot2dt{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + { \ frac {1} {2}} \ right) t \ right) {\ frac {f (xt)} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt}Questa scrittura è vicina all'applicazione del teorema di Riemann-Lebesgue , ma la funzione non è integrabile a priori nell'intorno di 0. Formiamo quindi (usando il cambio della variabile t '= - t per ripiegare metà dell'integrale su [0, π])
t↦f(X-t)peccato(t/2){\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {f (xt)} {\ sin (t / 2)}}}
Snon(f)(X)-f~(X)=12π∫0πpeccato((non+12)t)f(X+t)+f(X-t)peccatot2dt-12(f(X+)+f(X-)){\ displaystyle S_ {n} (f) (x) - {\ tilde {f}} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) t \ right) {\ frac {f (x + t) + f (xt)} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt - {\ frac {1} {2}} (f (x ^ {+}) + f (x ^ {-}))}Quindi, utilizzando il valore medio del kernel di Dirichlet D n , si inseriscono le costanti nell'integrale:
Snon(f)(X)-f~(X)=12π∫0πpeccato((non+12)t)f(X+t)+f(X-t)-f(X+)-f(X-)peccatot2dt{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) - {\ tilde {f}} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) t \ right) {\ frac {f (x + t) + f (xt) -f (x ^ {+}) - f (x ^ {-})} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt}Questa volta si applica il teorema. Quindi l'espressione ha un limite zero.
Applicazioni
Il teorema permette di trattare la convergenza della serie di Fourier di segnali periodici discontinui ( segnale quadrato , dente di sega …) dando il valore della serie sull'intero dominio.
Note e riferimenti
-
Mr Lejeune-Dirichlet, "Sulla convergenza di serie trigonometriche che servono a rappresentare una funzione arbitraria tra limiti dati", Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 4, 1829, p. 157-169 , leggi online: su arXiv : 0806.1294 o su GDZ .
-
Camille Jordan, "On the Fourier Series", CR Acad. Sci. Parigi , vol. 92, 1881, p. 228-230 , [ leggi in linea ] .
Vedi anche
Articoli Correlati
Bibliografia
Jean-Pierre Kahane e Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, serie di Fourier e wavelets [ dettaglio delle edizioni ]
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