Funzione a valori vettoriali

Funzione vettoriale

In matematica , una funzione con valori vettoriali o una funzione vettoriale è una funzione il cui spazio di arrivo è un insieme di vettori , la cui definizione può essere un insieme di scalari o vettori.

Un esempio: curve parametrizzate

Un classico esempio di funzioni vettoriali è quello delle curve parametrizzate , cioè funzioni di una variabile reale (che rappresenta ad esempio il tempo nelle applicazioni in meccanica puntuale ) con valori in uno spazio euclideo , ad esempio il piano usuale (si parla poi di curve piane ) o il solito spazio (si parla quindi di curve a sinistra ). t{\ displaystyle t}

Se , in termini di coordinate cartesiane ( e 1 , ..., e n ) , una curva parametrizzata può essere scritta come E=Rnon{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}} r:io⊂R→Rnon{\ Displaystyle \ mathbf {r} \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

r(t)=f1(t)e1+⋯+fnon(t)enon{\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ { non}}

dove sono le funzioni di coordinate. fj:io→R{\ displaystyle f_ {j} \ colon I \ to \ mathbb {R}}

Ad esempio, nello spazio cartesiano , notando i = (1,0,0) , j = (0,1,0) e k = (0,0,1) usuali versori, una curva parametrizzata s'scritto in il modulo R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}r:io⊂R→R3{\ Displaystyle \ mathbf {r} \, \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

r(t)=f(t)io+g(t)j+h(t)K{\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \, \ mathbf {i} + g (t) \, \ mathbf {j} + h (t) \, \ mathbf {k}}

dove sono le funzioni di coordinate. f,g,h:io→R{\ Displaystyle f, g, h \, \ colon I \ to \ mathbb {R}}

Definizione

Una funzione a valori vettoriali è una funzione di qualsiasi insieme X nello spazio vettoriale E su un campo K (commutativo).

Alcuni casi comuni sono:

• X è un sottoinsieme di (ad esempio un intervallo di ) e . Questo telaio copertine comprese calcolo in dimensione finita (comprese curve parametriche discussi sopra) e un gran numero di strumenti fisici, come quelli utilizzati in punto meccanico in meccanica dei fluidi , in termodinamica , etc.Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}E=Rnon{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}
• X è uno spazio di probabilità , e . Le funzioni vettoriali da X a E che sono misurabili sono chiamate vettori casuali , generalizzando la nozione di variabile casuale .K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}E=Rnon{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}

Funzioni di una variabile reale con valori vettoriali

Considera in questa sezione una funzione vettoriale f di un intervallo con valori in . Notiamo le funzioni di coordinate associate: io⊂R{\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}f1,...,fnon:io→R{\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ due punti I \ a \ mathbb {R}}

f(t)=(f1(t),...,fnon(t))=f1(t)e1+⋯+fnon(t)enon{\ Displaystyle \ mathbf {f} (t) = (f_ {1} (t), \ ldots, f_ {n} (t)) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1 } + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}}

per ogni t ∈ I dove e j sono i vettori della base canonica di . Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Possiamo dedurre le proprietà di f da quelle di f j e viceversa. Per esempio :

• f ( t ) tende a un vettore a = ( a 1 , ..., a n ) quando t tende a t 0 (possibilmente t 0 = ± ∞ ) se e solo se ogni f j ( t ) tende ad a j quando t tende a t 0  ;
• f è continua su I se e solo se ogni f j è continua ;
• f è differenziabile su I se e solo se ogni f j è.

Se f è derivabile su I , la sua derivata corrisponde alla derivata componente per componente:

f′(t)=(f1′(t),...,fnon′(t))=f1′(t)e1+⋯+fnon′(t)enon.{\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {\ prime} (t) = (f_ {1} ^ {\ prime} (t), \ ldots, f_ {n} ^ {\ prime} (t)) = f_ { 1} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}.}

Geometricamente, f '( t ) rappresenta (quando non è zero) il vettore tangente alla curva rappresentativa di f nel punto f ( t ) .

Da ciò si può dedurre un certo numero di formule utili nell'analisi vettoriale . Ad esempio, se ci sono due funzioni vettoriali differenziabili, allora: f,g:io→Rnon{\ Displaystyle \ mathbf {f}, \ mathbf {g} \, \ colon I \ a \ mathbb {R} ^ {n}}

• Il prodotto scalare canonico è differenziabili e lo abbiamof⋅g:io→R{\ Displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \, \ colon I \ to \ mathbb {R}}

(f⋅g)′=f⋅g′+f′⋅g{\ displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {g}}.

• Nel caso n = 3 , il prodotto incrociato è differenziabile e abbiamof∧g:io→R3{\ Displaystyle \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \, \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

(f∧g)′=f∧g′+f′∧g{\ Displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ wedge \ mathbf {g}}.

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