Valutazione | |
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Reciproco | Se |
Derivato | |
Primitivi |
set di definizioni | |
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Set di immagini | Se |
Parità | dispari |
Valore zero | 0 |
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zeri | 0 |
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Punti fissi | 0 |
In matematica elementare , le funzioni lineari sono tra le funzioni più semplici che si incontrano. Questi sono casi speciali di applicazioni lineari .
Riflettono la proporzionalità .
Ad esempio, diremo che il prezzo di un pieno di benzina è una funzione lineare del numero di litri immessi nel serbatoio perché:
Nota : Falso amico del francese, i termini tedeschi Lineare Funktion e inglese Linear function denotano una funzione affine .
Una funzione lineare è definita come segue:
con y = axdove il numero a è un qualsiasi numero reale . Questo reale a è chiamato coefficiente di proporzionalità.
Partendo dall'uguaglianza y = ax , vediamo che per x diverso da zero possiamo dividere i due membri per x . Quindi viene:
Un valore x diverso da zero e la sua immagine y sono quindi sufficienti per determinare il valore del coefficiente di proporzionalità.
La rappresentazione grafica di una funzione è l'insieme dei punti con coordinate ( x , y ) tali che y = f ( x ) .
Le funzioni lineari definite da a ℝ sono rappresentate nel piano da una retta. Questa retta passa per l'origine del sistema di coordinate. Infatti, se M è un punto della rappresentazione grafica tale che x = 0 , ne deriva necessariamente y = 0 .
L'elemento grafico importante è il coefficiente di direzione (o pendenza) della linea. Corrisponde al coefficiente di proporzionalità della funzione lineare. Troviamo quindi un modo semplice per calcolare questo coefficiente direzionale: se M ( x , y ) è un punto sulla retta diverso dall'origine, abbiamo, come prima y = ax quindi, per divisione per x (non zero)
C'è un modo per leggere la pendenza della linea sul grafico: è l'inclinazione della linea rispetto all'asse x.
Per esempio :
In sintesi :
In una griglia unitaria, il coefficiente direttore corrisponde al numero di quadrati percorsi sull'asse delle ordinate spostando una singola pezza (verso destra) su quella dell'ascissa.
Consideriamo due funzioni lineari f e g definite, per ogni x reale , da:
Quindi, per ogni x reale , abbiamo we
In altre parole, la somma di due funzioni lineari è una funzione lineare.
Considera la funzione lineare f definita per ogni x reale da f ( x ) = ax e k qualsiasi reale. Quindi, per ogni x reale , abbiamo we
Pertanto, il prodotto di una funzione lineare per una costante è una funzione lineare.
Consideriamo due funzioni lineari f e g definite, per ogni x reale , da:
Abbiamo quindi:
In altre parole, il prodotto di due funzioni lineari diverse da zero non è una funzione lineare ma una funzione quadratica .
Sia f una funzione lineare. La tangente alla retta rappresentativa della funzione f è in qualsiasi punto di questa retta stessa, così che per ogni x reale , abbiamo:
La funzione derivata da f è quindi la funzione costante definita su da questa equazione.
Sia f una funzione lineare, positiva sull'intervallo [ a , b ] . Possiamo calcolare l'integrale di f su [ a , b ] usando la formula per l'area di un trapezio (somma delle basi moltiplicata per l'altezza e divisa per 2):
o, per :
Sia f una funzione lineare definita da f ( x ) = ax . Esiste allora un'infinità di primitive di questa funzione; sono tutti definiti da espressioni della forma:
dove C è una qualsiasi costante reale.
Sia f una funzione lineare definita da f ( x ) = ax . Per ogni x reale , abbiamo:
Quindi una funzione lineare è sempre dispari. C'è solo una funzione lineare che è più uniforme: è la funzione nulla , che è costante .
Una funzione lineare verifica sempre la proprietà: Per tutto reale e tutto reale , Questa proprietà è caratteristica della funzione lineare, vale a dire che una funzione numerica che verifica questa proprietà è una funzione lineare, il suo coefficiente di proporzionalità a è f (1) .
Una funzione lineare verifica sempre la proprietà: Per tutto reale e tutto reale , Questa proprietà, studiata nell'equazione funzionale di Cauchy , è caratteristica della funzione lineare purché sia completata con una condizione di regolarità (funzione continua in un punto o funzione aumentata su un intervallo di lunghezza non nulla o funzione monotona su un intervallo di lunghezza diversa da zero...).