Armonica cilindrica
In matematica , armoniche cilindriche sono un insieme di linearmente indipendenti soluzioni della equazione differenziale Laplace.
∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂φ2+∂2V∂z2=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial V} { \ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial V} { \ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f23c2c2526375f3bee5945fcfedad3dce096)
espresso in coordinate cilindriche ρ (raggio), φ (azimut) ez (dimensione). Ciascuna funzione V n ( k ) è il prodotto di tre termini, ciascuno dipendente da una sola coordinata. Il termine dipendente da ρ è espresso con le funzioni di Bessel (che a volte sono chiamate anche armoniche cilindriche).
Definizione
Ogni funzione V n ( k ) è espressa come il prodotto di tre funzioni:
Vnon(K;ρ,φ,z)=Pnon(K,ρ)Φnon(φ)Z(K,z){\ Displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ Displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d2199bac0fe7a0179450b0ca2cc18b445feeab)
con ( ρ , φ , z ) le coordinate cilindriche, e n e k sono costanti che distinguono i membri dell'insieme. Come risultato del principio di sovrapposizione applicato dell'equazione di Laplace, è possibile ottenere soluzioni generali all'equazione di Laplace mediante combinazioni lineari di queste funzioni.
Poiché tutte le superfici per ρ , φ o z sono coniche, l'equazione di Laplace è separabile in coordinate cilindriche. Con la tecnica della separazione delle variabili , si può scrivere una soluzione separata dall'equazione di Laplace:
V=P(ρ)Φ(φ)Z(z){\ Displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}![{\ Displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634d66da3555f52bb4d6e2d88c15740ff4a1920)
e dividendo l'equazione di Laplace per V , si semplifica in:
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+Z¨Z=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bf8224090b271c838f593978d61afe446aac85)
Il termine in Z dipende solo da z e deve quindi essere uguale a una costante:
Z¨Z=K2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcfdc5395309937b67813621de7d6407a14dd55)
dove k è, in generale, un numero complesso . Per un dato valore di k , Z ha due soluzioni linearmente indipendenti.
- se k è reale, possiamo scrivere:
Z(K,z)=cosh(Kz) ou sinh(Kz){\ Displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {o} \ \ sinh (kz) \,}![{\ Displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {o} \ \ sinh (kz) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8bed9425f108c1c6b077793d8ba3eba24cd88)
oppure, a seconda del suo comportamento all'infinito:
Z(K,z)=eKz ou e-Kz{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}
Z(K,z)=cos(|K|z) ou peccato(|K|z){\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {o} \ \ sin (| k | z) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {o} \ \ sin (| k | z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acd51543c110cb967fac9095e238569cafd0526)
o :
Z(K,z)=eio|K|z ou e-io|K|z{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}
Possiamo notare che le funzioni Z ( k , z ) sono i noccioli della trasformazione di Fourier o della trasformazione di Laplace della funzione Z ( z ) e quindi, k può essere una variabile discreta per condizioni al contorno periodiche, oppure una variabile continua per condizioni limite non periodiche.
Sostituiamo k 2 per , ora abbiamo:
Z¨/Z{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}![{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1862dcecd5909da6283488ae99db938b6aee1e8b)
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+K2=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28e778708ed346da35e0307c577b7787ba4ab02)
Moltiplicando per ρ 2 , possiamo separare le funzioni P e Φ e introdurre una nuova costante n per ragioni simili a k per il termine dipendente da φ :
Φ¨Φ=-non2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}
ρ2P¨P+ρP˙P+K2ρ2=non2{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}![{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf7b107f4f3524387ef47d1e2064a57289281fb)
Poiché φ è periodico, possiamo prendere n positivo e quindi denoteremo le soluzioni Φ ( φ ) con indici. Le soluzioni reali per Φ ( φ ) sono
Φnon=cos(nonφ) ou peccato(nonφ){\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {o} \ \ sin (n \ varphi)}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {o} \ \ sin (n \ varphi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb39a5b8cd39792195649271a0f7570c8cb2a53)
o, equivalentemente:
Φnon=eiononφ ou e-iononφ{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89030b8bd4638d9dbb697326f191b8399ec9db9b)
Rimane il termine P ( ρ ) , che segue l' equazione di Bessel .
- se k è zero ma non n , le soluzioni sono:
Pnon(0,ρ)=ρnon ou ρ-non{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {o} \ \ rho ^ {- n} \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {o} \ \ rho ^ {- n} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442cee54ba667ebbd6734a55a4b70d70a7f56ef)
- se k e n sono entrambi diversi da zero, le soluzioni sono:
P0(0,ρ)=lnρ ou 1{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {o} \ 1 \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {o} \ 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5676a01dbb4576caa394d3944727b8a28450bd)
- se k è un numero reale, possiamo scrivere una soluzione reale nella forma:
Pnon(K,ρ)=Jnon(Kρ) ou Ynon(Kρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {o} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {o} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54db49118bb7e697728970c40d44b0eb51cea2a6)
con J n ( z ) e Y n ( z ) , funzioni ordinarie di Bessel.
- se k è un numero immaginario, possiamo scrivere una soluzione reale nella forma:
Pnon(K,ρ)=ionon(|K|ρ) ou Knon(|K|ρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {o} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {o} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0279c579130224e91ab2ecbb5fd54926d24b104)
con
I n ( z ) e
K n ( z ) , funzioni di Bessel modificate.
Le armoniche cilindriche per ( k , n ) sono quindi il prodotto di queste soluzioni e la soluzione generale dell'equazione di Laplace è una loro combinazione lineare:
V(ρ,φ,z)=∑non∫dKAnon(K)Pnon(K,ρ)Φnon(φ)Z(K,z){\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac45c1538a9077bb53d3c02a1ae1832a9004072)
dove gli A n ( k ) sono costanti dipendenti dalla forma cilindrica e dai limiti della somma e dell'integrale, dati dalle condizioni al contorno del problema. Alcuni casi di condizioni al contorno consentono di sostituire l'integrale con una somma discreta. L'ortogonalità di J n ( x ) è spesso utile per trovare la soluzione in un caso specifico. Le funzioni Φ n ( φ ) Z ( k , z ) sono essenzialmente espansioni di Fourier o Laplace e formano un insieme di funzioni ortogonali. Per il caso P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , l'ortogonalità di J n , con le relazioni di ortogonalità di Φ n ( φ ) e Z ( k , z ) permette di determinare le costanti.
Notando { x k } gli zeri positivi di J n , abbiamo:
∫01Jnon(XKρ)Jnon(XK′ρ)ρdρ=12Jnon+1(XK)2δKK′{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2eb9c188f5489ff969271d27555fa7435ffbc2)
Nella risoluzione dei problemi, lo spazio può essere suddiviso in un numero finito di sottospazi, purché i valori del potenziale e la sua derivata coincidano lungo un confine senza una sorgente.
Esempio: punto sorgente in un tubo cilindrico conduttivo
Cerchiamo di determinare il potenziale di una sorgente puntiforme situata a ( ρ 0 , φ 0 , z 0 ) in un tubo cilindrico conduttivo (come un barattolo di latta vuoto) delimitato dai due piani z = ± L e sui bordi dal cilindro ρ = a . (Nelle unità MKS, assumeremo q / 4π ε 0 = 1 ). Poiché il potenziale è limitato dai piani sull'asse z , si può assumere che la funzione Z ( k , z ) sia periodica. Il potenziale deve essere zero all'origine, prendiamo P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , tale che uno dei suoi zeri sia sul cilindro limite. Per un punto di misurazione sotto il punto sorgente sull'asse z , il potenziale sarà:
V(ρ,φ,z)=∑non=0∞∑r=0∞AnonrJnon(Knonrρ)cos(non(φ-φ0))sinh(Knonr(L+z))z≤z0{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}![{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcac615b58005b89df1936d9b680bf0a269ac4b)
con k nr a , il r e zero di J n ( z ) e, dalle relazioni di ortogonalità per ciascuna funzione:
Anonr=4(2-δnon0)a2sinhKnonr(L-z0)sinh2KnonrLJnon(Knonrρ0)Knonr[Jnon+1(Knonra)]2{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4eb5e3569947e4b1f824713a44baee89017cf6)
Sopra il punto di origine, avremo:
V(ρ,φ,z)=∑non=0∞∑r=0∞AnonrJnon(Knonrρ)cos(non(φ-φ0))sinh(Knonr(L-z))z≥z0{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}
Anonr=4(2-δnon0)a2sinhKnonr(L+z0)sinh2KnonrLJnon(Knonrρ0)Knonr[Jnon+1(Knonra)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba17c88a547a517467acec9b9a0ea8eb6078143)
Troviamo che per ρ = a o | z | = L , la funzione viene annullata. Possiamo anche verificare che i valori delle due soluzioni e delle loro derivate coincidano per z = z 0 .
Punto sorgente in un tubo cilindrico conduttivo infinito
Rimuoviamo le condizioni al contorno in z ( L → ). La soluzione diventa quindi:
V(ρ,φ,z)=∑non=0∞∑r=0∞AnonrJnon(Knonrρ)cos(non(φ-φ0))e-Knonr|z-z0|{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}
Anonr=2(2-δnon0)a2Jnon(Knonrρ0)Knonr[Jnon+1(Knonra)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}
Punto di origine nello spazio libero
Rimuoviamo anche le condizioni al contorno in ρ ( a → ∞ ). La somma sugli zeri di J n ( z ) diventa un integrale, e quindi arriva il campo di un punto sorgente in uno spazio libero infinito:
V(ρ,φ,z)=1R=∑non=0∞∫0∞Anon(K)Jnon(Kρ)cos(non(φ-φ0))e-K|z-z0|dK{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}
Anon(K)=(2-δnon0)Jnon(Kρ0){\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}![{\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8876e18f7f7ed8c16a994c81c4d15ddb383639)
e R è la distanza dal punto sorgente al punto di misurazione:
R=(z-z0)2+ρ2+ρ02-2ρρ0cos(φ-φ0).{\ displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}
Punto di origine nello spazio libero all'origine
Infine, fissiamo ρ 0 = z 0 = 0 . Poi viene
V(ρ,φ,z)=1ρ2+z2=∫0∞J0(Kρ)e-K|z|dK.{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d66700d466001ac039e080196f789b40bcf07)
Vedi anche
Appunti
-
Smythe 1968 , p. 185.
-
Guillopé 2010 .
-
Questo caso è studiato in Smythe 1968
Riferimenti
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