Teorema di Mittag-Leffler

In analisi complessa , il teorema di Mittag-Leffler mostra l'esistenza di funzioni meromorfe con poli prescritti. In questo, si avvicina al teorema di fattorizzazione di Weierstrass , che afferma l'esistenza di funzioni olomorfe con zeri prescritti. Deve il suo nome al matematico svedese Gösta Mittag-Leffler .

Teorema

Sia un sottoinsieme discreto aperto di e chiuso. Per tutto in , lasciate un polinomio in . Allora esiste una funzione meromorfa su tale che, qualunque cosa , sia olomorfa in . In particolare, la parte negativa dello sviluppo della serie Laurent di in è . $D$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle E \ subset D}$ $a$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle p_ {a} (z)}$ $1 / (za)$ $f$ $D$ $maggiore$ ${\ displaystyle f (z) -p_ {a} (z)}$ $a$ $f$ $a$ ${\ displaystyle p_ {a} (z)}$

Bozza di prova

Diamo qui una bozza di prova. Notiamo che nel caso in cui sia finito, basta prendere . Se non è finito, consideriamo la somma finita dove è un sottoinsieme finito di . Anche se non converge necessariamente quando F si avvicina a E , possiamo sempre sottrarre funzioni razionali ben scelte i cui poli non sono in D (dato dal Teorema di Runge ), senza cambiare la parte negativa dell'espansione in serie di Laurent de , e quindi garantire la convergenza. $E$ ${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {a \ in E} p_ {a} (z)}$ $E$ ${\ displaystyle S_ {F} (z) = \ sum _ {a \ in F} p_ {a} (z)}$ $F$ $E$ ${\ displaystyle S_ {F} (z)}$ ${\ displaystyle S_ {F} (z)}$

Esempio

Supponiamo di volere una funzione meromorfa con poli semplici di residuo 1 in tutti gli interi positivi. Con le notazioni precedenti, sia e . Il teorema di Mittag-Leffler dimostra l'esistenza di una funzione meromorfa di cui sarà interamente inclusa la parte negativa dell'espansione in serie di Laurent . Questa funzione controlla le proprietà desiderate. ${\ displaystyle p_ {k} = 1 / (zk)}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {N}}$ $f$ $z = k$ ${\ displaystyle p_ {k} (z)}$ ${\ displaystyle k}$ $f$

Note e riferimenti