Funzione di secondo grado
Nell'analisi reale , una funzione quadratica è una funzione numerica definita daf:X↦aX2+bX+vs{\ displaystyle f: x \ mapsto ax ^ {2} + bx + c}
dove , e sono numeri reali che non dipendono dalla variabile , con .
a{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
vs{\ displaystyle c}
X{\ displaystyle x}
a≠0{\ displaystyle a \ neq 0}![a \ neq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
Le funzioni quadratiche sono talvolta chiamate trinomi , funzioni quadratiche o funzioni polinomiali quadratiche . Queste sono le funzioni più semplici, dopo le funzioni affini .
Queste funzioni di secondo grado trovano la loro applicazione in campi estremamente vari come lo studio teorico di una caduta libera in fisica.
La rappresentazione grafica di una funzione quadratica è una parabola che ha un asse di simmetria parallelo all'asse y. Il segno del numero a indica il verso di variazione della funzione .
Diverse forme
Qualsiasi espressione algebrica ammette un'infinità di script. Per una funzione quadratica, tre di loro sono particolarmente interessanti.
Forma sviluppata
La forma sviluppata , ridotta e ordinata di una funzione quadratica è quella data nell'introduzione a questo articolo e nei libri in generale:
f(X)=aX2+bX+vs{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}![f (x) = ax ^ 2 + bx + c](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fca4dfe28e7b4a4a336578daaab18c87397073)
con un diverso da zero.
In questo caso i numeri , e , secondo il vocabolario dei polinomi , sono chiamati rispettivamente coefficienti di secondo grado, di primo grado e termine costante. I termini , e sono i monomi di grado 2, 1 e 0 rispettivamente. In questa forma costituita da tre monomi, la funzione è spesso chiamato il trinomio quadratica .
a{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
vs{\ displaystyle c}
aX2{\ displaystyle ascia ^ {2}}
bX{\ displaystyle bx}
vs{\ displaystyle c}![vs](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
Forma canonica
Qualsiasi funzione quadratica ha una forma ridotta o forma canonica , dove la variabile x ricorre solo una volta. Ciascuna delle seguenti due espressioni può essere chiamata forma canonica , queste espressioni differiscono solo per una fattorizzazione di a :
f(X)=a(X+b2a)2-b2-4avs4a{\ displaystyle f (x) = a \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}}
f(X)=a[(X+b2a)2-b2-4avs4a2]{\ displaystyle f (x) = a \ sinistra [\ sinistra (x + {\ frac {b} {2a}} \ destra) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} \ right]}
I numeri e corrispondono rispettivamente all'ascissa e all'ordinata del vertice della parabola rappresentativa del trinomio. Il numero , nel frattempo, è chiamato discriminante e spesso annotato .
-b2a{\ displaystyle - {\ frac {b} {2a}}}
f(-b2a)=-b2-4avs4a{\ displaystyle f \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) = - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}}
b2-4avs{\ displaystyle b ^ {2} -4ac}
Δ{\ displaystyle \ Delta}![\Delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2)
In effeti,
f(X)=aX2+bX+vs=a(X2+bXa)+vs{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} f (x) & = & ax ^ {2} + bx + c \\ & = & a \ left (x ^ {2} + {\ cfrac {bx} { a}} \ right) + c \ end {array}}}
Applicando la prima identità notevole , abbiamo:
f(X)=a[(X+b2a)2-b24a2]+vs=a(X+b2a)2-b24a+vs=a(X+b2a)2-b2-4avs4a=a[(X+b2a)2-b2-4avs4a2]{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} f (x) & = & a \ left [\ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ cfrac { b ^ {2}} {4a ^ {2}}} \ right] + c \\ & = & a \ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ cfrac {b ^ {2}} {4a}} + c \\ & = & a \ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ cfrac {b ^ { 2} -4ac} {4a}} \\ & = & a \ left [\ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ cfrac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} \ right] \ end {array}}}
Le forme canoniche sono particolarmente interessanti perché consentono di scrivere la funzione quadratica come un composto di funzioni affini alla funzione quadratica . La maggior parte dei risultati sulla funzione (variazioni, simmetria, segno…) sono dimostrati dall'una o dall'altra delle forme canoniche.
Forma fattorizzata
A volte una funzione quadratica può essere scritta in una delle seguenti forme fattorizzate :
-
f(X)=a(X-r1)(X-r2){\ displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2})}
se e solo se il discriminante ∆ visto nella sezione precedente è strettamente positivo;
-
f(X)=a(X-r0)2{\ displaystyle f (x) = a (x-r_ {0}) ^ {2}}
se e solo se ∆ è zero;
- Se il discriminante è negativo, la funzione non può essere scomposta in ℝ.
Con , ,r1=-b-Δ2a{\ displaystyle \ textstyle {r_ {1} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}}
r2=-b+Δ2a{\ displaystyle \ textstyle {r_ {2} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}}
r0=α=-b2a.{\ displaystyle \ textstyle {r_ {0} = \ alpha = - {\ frac {b} {2a}}}.}
Infatti, se partiamo dalla forma canonica , otteniamo
a[(X+b2a)2-b2-4avs4a2]=a[(X+b2a)2-Δ(2a)2]{\ displaystyle a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} \ right] = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ Delta} {(2a) ^ {2}}} \ right ]}![{\ displaystyle a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} \ right] = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ Delta} {(2a) ^ {2}}} \ right ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176b2b64642d2c574211350f588625b34401dab9)
- per Δ strettamente positivo, applicando la terza identità notevole :f(X)=a[(X+b2a)+Δ2a][(X+b2a)-Δ2a]{\ displaystyle f (x) = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) + {\ frac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ right] \ sinistra [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) - {\ frac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ right]}
f(X)=a(X+b2a+Δ2a)(X+b2a-Δ2a)=a(X--b-Δ2a)(X--b+Δ2a){\ Displaystyle f (x) = a \ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} + {\ cfrac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ right) \ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} - {\ cfrac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ right) = a \ left (x - {\ cfrac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ right) \ left (x - {\ cfrac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ right)}
- e per Δ nullo, direttamente f(X)=a(X+b2a)2=a(X--b2a)2.{\ Displaystyle f (x) = a \ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} = a \ left (x - {\ frac {-b} {2a}} \ a destra) ^ {2}.}
La forma fattorizzata è interessante perché permette, applicando il teorema dell'equazione prodotto zero di risolvere l'equazione f ( x ) = 0 su ℝ o ℂ, oppure applicando la regola dei segni di impostare un array di segni di f su ℝ , quindi per risolvere una disuguaglianza quadratica.
Equazione quadratica e disuguaglianza
Un'equazione quadratica è un'equazione equivalente a , dove è una funzione quadratica . Analogamente, una disuguaglianza di secondo grado disuguaglianza simile in una delle quattro forme: , , o , indicando sempre a una funzione quadratica.
f(X)=0{\ displaystyle f (x) = 0}
f{\ displaystyle f}
f(X)⩽0{\ displaystyle f (x) \ leqslant 0}
f(X)<0{\ displaystyle f (x) <0}
f(X)⩾0{\ displaystyle f (x) \ geqslant 0}
f(X)>0{\ displaystyle f (x)> 0}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Diciamo che un numero è una radice dell'equazione e se .
r{\ displaystyle r}
f{\ displaystyle f}
f(r)=0{\ displaystyle f (r) = 0}![f (r) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852863cf0cc2afe1563beedb32bc6a3f56e3f782)
Equazione
Dimostriamo, applicando il teorema dell'equazione del prodotto zero alla forma fattorizzata, che
- se allora ha due radici che sono e ;Δ>0{\ displaystyle \ Delta> 0}
f{\ displaystyle f}
r1=-b-Δ2a{\ displaystyle r_ {1} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}
r2=-b+Δ2a{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}![r_2 = \ frac {-b + \ sqrt {\ Delta}} {2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e975f522bccca917ebe7e7ab5b042c0fc140fc74)
- se allora ha una doppia radice che è ;Δ=0{\ displaystyle \ Delta = 0}
f{\ displaystyle f}
r0=-b2a{\ displaystyle r_ {0} = {\ frac {-b} {2a}}}![r_0 = \ frac {-b} {2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8034f2dbc1c28530d77e3a67b89c55540a8c8569)
- se allora non ha una radice nell'insieme ma ne ha alcune nell'insieme : e , dove denota l' unità immaginaria .Δ<0{\ displaystyle \ Delta <0}
f{\ displaystyle f}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
-b+io|Δ|2a{\ displaystyle {\ frac {-b + i {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}
-b-io|Δ|2a{\ displaystyle {\ frac {-bi {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}
io{\ displaystyle i}![io](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
Operazioni di root
Se il polinomio quadratico ha due radici e (forse confuso), ammette come forma fattorizzata . Espandendo questa forma e identificando i termini dello stesso grado con la forma sviluppata, si ottengono le uguaglianze:
r1{\ displaystyle r_ {1}}
r2{\ displaystyle r_ {2}}
a(X-r1)(X-r2){\ displaystyle a (x-r_ {1}) (x-r_ {2})}
r1+r2=-ba{\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - {\ frac {b} {a}}}
e
r1r2=vsa{\ displaystyle r_ {1} r_ {2} = {\ frac {c} {a}}}
.
Queste uguaglianze sono particolarmente utili nell'aritmetica mentale e nel caso della "radice evidente". Ad esempio, se sappiamo che una radice è uguale a 1, l'altra lo sarà .
vsa{\ displaystyle {\ frac {c} {a}}}![{\ displaystyle {\ frac {c} {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3c6b95ea11db24e406ab2e567147367a15c6c1)
Disuguaglianza
Il segno di una funzione quadratica si deduce dalla forma canonica che, ponendosi , si scrive:
Δ=b2-4avs{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}
f(X)=a[(X+b2a)2-Δ4a2]{\ displaystyle f (x) = a \ sinistra [\ sinistra (x + {\ frac {b} {2a}} \ destra) ^ {2} - {\ frac {\ Delta} {4a ^ {2}}} \ right]}
.
Se ∆ <0, allora, per qualsiasi numero reale , e d'altra parte come quadrato di un numero reale. Quindi è sempre il segno di a .
X{\ displaystyle x}
-Δ4a2>0{\ displaystyle {\ frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}}> 0}
(X+b2a)2⩾0{\ displaystyle \ sinistra (x + {\ frac {b} {2a}} \ destra) ^ {2} \ geqslant 0}
f(X){\ displaystyle f (x)}![f (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
Se ∆ = 0, la situazione è quasi la stessa, tranne che la funzione quadratica svanisce una volta, per .
X=-b2a{\ displaystyle x = {\ frac {-b} {2a}}}![x = \ frac {-b} {2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4c139fcfce22a478b368d5f434373e40f4b751)
Se ∆> 0, la forma canonica viene scritta come differenza di due quadrati, notando che viene scritto il numero positivo . Può quindi essere scomposto in base alla notevole identità e ammette due radici. La funzione quadratica è quindi del segno opposto a quella del tra le radici e del segno dell'altrove.
Δ4a2{\ displaystyle {\ frac {\ Delta} {4a ^ {2}}}}
(Δ2a)2{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ right) ^ {2}}
A2-B2{\ displaystyle A ^ {2} -B ^ {2}}
a{\ displaystyle a}
a{\ displaystyle a}![a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
Tutti questi risultati danno sei possibili casi illustrati nella parte di rappresentazione grafica di questo articolo e che possono essere riassunti in una sola frase:
Segno di un trinomio di secondo grado - è del segno ovunque, eccetto tra le possibili radici.
aX2+bX+vs{\ displaystyle ascia ^ {2} + bx + c}
a{\ displaystyle a}![a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
|
a <0
|
a> 0
|
---|
∆ <0
|
X-∞+∞f(X)-{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccc |} \ hline x & - \ infty && + \ infty \\\ hline f (x) && - & \\\ hline \ end {array}}}
|
X-∞+∞f(X)+{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccc |} \ hline x & - \ infty && + \ infty \\\ hline f (x) && + & \\\ hline \ end {array}}}
|
---|
∆ = 0
|
X-∞-b2a+∞f(X)-0-{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccccc |} \ hline x & - \ infty && {\ frac {-b} {2a}} && + \ infty \\\ hline f (x) && - & 0 & - & \\\ hline \ end {array}}}
|
X-∞-b2a+∞f(X)+0+{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccccc |} \ hline x & - \ infty && {\ frac {-b} {2a}} && + \ infty \\\ hline f (x) && + & 0 & + & \\\ hline \ end {array}}}
|
---|
∆> 0
|
X-∞r1r2+∞f(X)-0+0-{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccccccc |} \ hline x & - \ infty && r_ {1} && r_ {2} && + \ infty \\\ hline f (x) && - & 0 & + & 0 & - & \ \\ hline \ end {array}}}
|
X-∞r1r2+∞f(X)+0-0+{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccccccc |} \ hline x & - \ infty && r_ {1} && r_ {2} && + \ infty \\\ hline f (x) && + & 0 & - & 0 & + & \ \\ hline \ end {array}}}
|
---|
Rappresentazione grafica
La rappresentazione grafica di una funzione quadratica è una parabola che ammette come asse di simmetria la retta di equazione . Il contrario è in parte vero: qualunque sia una data parabola, è possibile scegliere un sistema di coordinate ortonormali del piano per cui esiste una funzione quadratica di cui la parabola è il grafico.
X=-b2a{\ displaystyle x = {\ frac {-b} {2a}}}![x = \ frac {-b} {2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4c139fcfce22a478b368d5f434373e40f4b751)
Le variazioni e la forma della parabola presentano due casi, a seconda del segno del coefficiente di secondo grado a .
Se a è positivo.
La parabola ammette un
minimo ; la funzione diminuisce nell'intervallo e poi aumenta. Le coordinate del minimo sono .
]-∞,-b2a]{\ displaystyle \ left] - \ infty, {\ frac {-b} {2a}} \ right]}
(-b2a,vs-b24a){\ displaystyle \ left ({\ frac {-b} {2a}}, c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ right)}![{\ displaystyle \ left ({\ frac {-b} {2a}}, c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7197853aa7535eea640b23139176f632f1ef5c9)
La parabola è rivolta “verso l'alto”: per tutti i punti A e B appartenenti alla parabola, il segmento [AB] si trova sopra questa curva. Si dice che una funzione che risponde a queste proprietà sia
convessa .
Se a è negativo.
La parabola ammette un
massimo e le variazioni della funzione sono invertite rispetto al caso precedente: prima in aumento, poi in diminuzione. Anche le coordinate del massimo sono .
M(-b2a;vs-b24a){\ displaystyle M ({\ frac {-b} {2a}}; c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}})}![M (\ frac {-b} {2a}; c - \ frac {b ^ 2} {4a})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2641979eaad4324e5d5d607f19897ff7372956)
La parabola è "abbassata". Si dice che la funzione sia concava .
Il valore assoluto del numero a dà anche la velocità di variazione della funzione quadratica. Quindi, più a è vicino a zero, più la parabola apparirà "appiattita", per un dato sistema di coordinate.
Per l'intersezione della parabola con l'asse x, un altro numero gioca un ruolo centrale, il discriminante , spesso indicato ∆ e uguale a . La parabola non ha punto di intersezione con l'asse x quando ∆ <0, è tangente in un punto con questo asse quando ∆ = 0 e ha due punti di intersezione quando ∆> 0.
b2-4avs{\ displaystyle b ^ {2} -4ac}![b ^ 2 - 4ac](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2c88a48e0087a5786b460b2e856d118b5e23ab)
Questi risultati possono essere interpretati in termini di equazioni o disequazioni e sono dimostrati utilizzando calcoli algebrici, eventualmente integrati da ragionamenti di analisi matematica (con utilizzo della derivata della funzione) e geometria (vedi più in basso).
|
a>0{\ displaystyle a> 0}
|
a<0{\ displaystyle a <0}
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---|
Δ<0{\ displaystyle \ Delta <0}
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---|
Δ=0{\ displaystyle \ Delta = 0}
|
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Δ>0{\ displaystyle \ Delta> 0}
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Analisi
Ogni funzione quadratica è continua , il che significa che non ammette una “rottura”: ad una variazione infinitesimale della variabile x corrisponde una variazione infinitesima della funzione, per qualsiasi numero reale x .
Inoltre, è indefinitamente differenziabile: ammette
qualsiasi funzione f della formaf(X)=aX2+bX+vs{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}![f (x) = ax ^ 2 + bx + c](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fca4dfe28e7b4a4a336578daaab18c87397073)
- un derivato ;f′(X)=2aX+b{\ displaystyle f \, '(x) = 2ax + b}
![f \, '(x) = 2ax + b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2279043750da5f2409831c2b637a8db6639199)
- una seconda derivata (derivata della derivata) ;f″(X)=2a{\ displaystyle f \, '' (x) = 2a}
![f \, '' (x) = 2a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1d61291e1ff84c90ae93c2fdcb46f784595d2c)
- derivate successive (terza, quarta, ecc.) tutte nulle .
Dal punto di vista delle loro variazioni , le funzioni quadratiche possono essere classificate in due gruppi, secondo il segno del coefficiente quadratico :
a{\ displaystyle a}![a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
- Se , la funzione è rigorosamente decrescente, allora strettamente crescente e raggiunge il suo minimo in ;a>0{\ displaystyle a> 0}
-b2a{\ displaystyle {\ tfrac {-b} {2a}}}![\ tfrac {-b} {2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c3bc39fb831e73999641eb4e6e54ee8413ed1f)
- Se , la funzione è strettamente crescente, allora strettamente decrescente e raggiunge il suo massimo in .a<0{\ displaystyle a <0}
-b2a{\ displaystyle {\ tfrac {-b} {2a}}}![\ tfrac {-b} {2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c3bc39fb831e73999641eb4e6e54ee8413ed1f)
In entrambi i casi le coordinate dell'estremità sono quindi .
(-b2a,vs-b24a){\ displaystyle ({\ tfrac {-b} {2a}}, c - {\ tfrac {b ^ {2}} {4a}})}![(\ tfrac {-b} {2a}, c - \ tfrac {b ^ 2} {4a})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d6b01628b39d892bf93ec6fecbbc20894d2bf0)
Questo risultato può essere dimostrato studiando il segno della derivata di , utilizzando il fatto che una funzione differenziabile è strettamente crescente su qualsiasi intervallo in cui la sua derivata è strettamente positiva e strettamente decrescente su qualsiasi intervallo in cui la sua derivata è strettamente negativa. La convessità di (o la sua concavità quando ) è dimostrata anche dalle derivate. In effetti, qualsiasi funzione la cui derivata seconda è positiva è convessa e qualsiasi funzione la cui derivata seconda è negativa è concava.
f{\ displaystyle f}
f{\ displaystyle f}
a<0{\ displaystyle a <0}![a <0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c)
Le primitive della funzione sono le funzioni del terzo grado della forma , dove è una costante. Questo risultato è dimostrato applicando le regole di calcolo sulle derivate o primitive, oppure con il metodo della quadratura della parabola che unisce geometria e passaggio al limite.
f(X)=aX2+bX+vs{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}
GK(X)=13aX3+12bX2+vsX+K{\ displaystyle G_ {k} (x) = {\ tfrac {1} {3}} ax ^ {3} + {\ tfrac {1} {2}} bx ^ {2} + cx + k}
K{\ displaystyle k}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Storico
Nota
-
Tuttavia, esiste una possibile fattorizzazione nell'insieme dei complessi nella forma con e ; essendo io l' unità immaginaria ( i 2 = –1). Vedere " Equazione quadratica ".f(X)=a(X-r1)(X-r2){\ displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2})}
r1=-b-io|Δ|2a{\ displaystyle \ textstyle {r_ {1} = {\ frac {-b - {\ rm {i}} {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}}
r2=-b+io|Δ|2a{\ displaystyle \ textstyle {r_ {2} = {\ frac {-b + {\ rm {i}} {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}}
Vedi anche
Articoli Correlati
Bibliografia
Libri di testo del secondo e del primo anno nelle scuole superiori in Francia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">