Valutazione | |
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Reciproco | sicuro |
Derivato | |
Primitivi |
Set di definizione | |
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Set di immagini | |
Parità | paio |
Valore zero | 0 |
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Limite in + ∞ | + ∞ |
Limite in −∞ | + ∞ |
Minimo | 0 |
Zeri | 0 |
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Punti fissi | 0; 1 |
In analisi reale , la funzione quadrato è la funzione che associa ad ogni numero reale il suo quadrato , cioè il risultato della moltiplicazione di questo numero per se stesso.
Questa funzione di potenza , che può essere espressa nella forma x ↦ x 2 = x × x è una coppia di funzioni , positiva e di cui la curva è una parabola con asse verticale, picco all'origine e orientata nella direzione delle ordinate positive . Come un continuo e funzione strettamente crescente nel intervallo [0, + ∞ [ , induce una biiezione da questo intervallo in sé, ammettendo la radice quadrata funzione reciproca .
La funzione quadratica è anche il primo esempio di una funzione quadratica ed è generalizzata a diverse variabili con la nozione di forma quadratica . Si estende anche al piano complesso come una funzione intera con una doppia radice a 0 .
La prima proprietà è la positività (in senso lato) della funzione quadrato. Infatti per ogni x reale , la x × x reale è il prodotto di due numeri reali dello stesso segno; per la regola dei segni è quindi positivo.
La funzione è pari: f ( x ) = f (- x ) per tutte le x reali . Infatti, con l'osservazione precedente applicando la regola dei segni otteniamo f (- x ) = (- x ) × (- x ) = x × x = f ( x ) .
La funzione quadrato è strettamente convessa sopra . Infatti, la sua derivata seconda è strettamente positiva: f '' = 2> 0 .
Calcolo dei antecedenti di un vero un dalla funzione quadrato è equivalente a risolvere l'equazione x 2 = un . Ci sono tre possibili casi:
Ad esempio, le soluzioni di x 2 = 9 sono 3 e -3 .
Si possono anche determinare graficamente gli antecedenti: gli antecedenti di a sono le ascisse dei punti di intersezione della retta di equazione y = a e del grafico della funzione quadrato .
La derivata della funzione quadrato è (è una funzione lineare e quindi dispari). È quindi (strettamente) negativo su e positivo su , così che la funzione quadrato è (strettamente) decrescente su ] -∞, 0] e crescente su [0, + ∞ [ . E svanisce in 0, il suo minimo globale . La direzione di variazione della funzione quadrato deve essere presa in considerazione quando si risolvono le disuguaglianze (inversione delle disuguaglianze se i valori sono negativi).
Poiché la funzione quadrato è un polinomio quadratico , il metodo di Simpson è esatto quando si calcola il suo integrale. Per qualsiasi polinomio di secondo grado P e un e b vero, abbiamo:
quindi per la funzione quadrata definita da , abbiamo:
La funzione quadrato ha come primitive tutte le funzioni g C definite da, per C una costante reale arbitraria:
.In un sistema di coordinate ortonormali , la funzione è rappresentata da una parabola il cui vertice è il punto (0, 0). L'intera parabola è posta sopra l' asse delle ascisse - che traduce la positività della funzione - e la parità è rilevabile grazie all'asse di simmetria che è l' asse delle ordinate .
Il limite della funzione quadrato, più infinito e meno infinito, è uguale a più infinito.
Possiamo estendere la definizione della funzione quadrato al dominio complesso definendo . Ad esempio, se , . può anche essere visto come una funzione nella funzione che la coppia combina la coppia da quando la scrittura era
La funzione quadrato può essere utilizzata per illustrare proprietà di differenziabilità , olomorfia , spesso serve come esempio per illustrare le condizioni di Cauchy-Riemann .
La funzione quadrato viene anche utilizzata per dimostrare una proprietà geometrica delle triple pitagoriche .