In matematica , e più precisamente nella teoria dei nodi , il polinomio di Alexander è un nodo invariante che associa ad ogni tipo di nodo un polinomio a coefficienti interi. Questo è il primo polinomio nodo (in) scoperto; fu scritto da James Waddell Alexander II nel 1923. Nel 1969 John Conway ne mostrò una versione, ora chiamata polinomio di Alexander-Conway , che può essere calcolato usando una " relazione matassa. ( fr ) "( relazione matassa ), ma la sua l'importanza non fu compresa fino alla scoperta del polinomio di Jones nel 1984.
La seguente definizione formale richiede una conoscenza significativa dell'omologia ; è tuttavia possibile, come vedremo nel paragrafo successivo, calcolare senza di esso in pratica il polinomio di Alexander, che potrebbe costituire una definizione operativa, ma non si può poi comprendere il motivo di fondo dell'interesse di questo calcolo, né le proprietà di il polinomio.
Sia K un nodo della 3-sfera . O X il rivestimento ciclico infinito del complemento del nodo K . C'è un automorfismo t di questo rivestimento. È quindi il primo gruppo di omologia (a coefficienti interi) di X . La trasformazione t agisce su questo gruppo, e possiamo quindi considerarlo come un modulo su , chiamato invariante di Alexander o modulo di Alexander .
Questo modulo ha una presentazione finita; una matrice di presentazione di questo modulo, con r colonne e s righe se ci sono r generatori e s relazioni, è chiamata matrice di Alexander . Alexander ha dimostrato che r è sempre minore o uguale a s , consideriamo quindi l' ideale generato dai minori di ordine r della matrice; è l' ideale di Fitting (in) 0 order, chiamato ideale di Alexander , e non dipende dalla scelta del modello di presentazione.
Alexander ha anche dimostrato che questo ideale è sempre principale , uno dei suoi generatori è chiamato il polinomio di Alexander del nodo. Poiché questo polinomio è definito solo da una moltiplicazione per un monomio di Laurent , generalmente fissiamo una forma unica. Ad esempio, la scelta di standardizzazione di Alexander consiste nel prendere il polinomio di valutazione positiva e di termine costante strettamente positivo. Il polinomio di Alexander esiste ancora, ed è chiaramente un nodo (topologico) invariante, che denotiamo .
La seguente procedura di calcolo è quella fornita da Alexander nella sua pubblicazione originale.
Si consideri un diagramma orientato del nodo con n incroci; il diagramma divide il piano in n + 2 regioni (questa è una facile conseguenza della relazione di Eulero ). Per determinare il polinomio di Alexander, costruiamo prima una matrice di incidenza di dimensione ( n , n + 2). Le n righe corrispondono agli n incroci e le n + 2 colonne alle regioni. Si consideri la voce corrispondente a una regione ea un particolare incrocio. Se la regione non è adiacente all'intersezione, questa voce è uguale a 0. Altrimenti la tabella seguente fornisce il valore della voce tenendo conto della posizione della regione vista dal punto di vista della linea entrante passante sotto l' altro:
a sinistra prima dell'incrocio: - t a destra prima dell'incrocio: 1 a sinistra dopo l'incrocio: t a destra dopo l'incrocio: −1Togliendo quindi dalla matrice due colonne corrispondenti a regioni adiacenti, si ottiene una nuova matrice di ordine n ; il suo determinante (fino a un fattore ) è il polinomio di Alexander (la forma normalizzata si ottiene scegliendo questo fattore in modo che il termine costante del polinomio sia diverso da zero e positivo).
Un esempio: il calcolo nel caso del nodo trifoglioIl calcolo corrisponde al diagramma a fianco (clicca sull'immagine per una migliore visualizzazione):
La matrice di incidenza è :; (le cui cinque colonne corrispondono rispettivamente alle regioni da 1 a 5, e le tre linee agli incroci a, b e c).
Togliendo le ultime due colonne (corrispondenti alle due regioni adiacenti 4 e 5), si ottiene
, di determinante ; il polinomio di Alexander è quindi .Lo stesso diagramma, sostituendo l'incrocio in a con il suo opposto, dà un nodo banale (equivalente a un cerchio), una matrice di incidenza che diventa :, da qui il calcolo del determinante di :, uguale a t , e infine il banale Alexander polinomio 1.
Il polinomio di Alexander è simmetrico: .
Dal punto di vista della definizione formale, questo esprime l'isomorfismo della dualità di Poincaré:, dove è il quoziente per il campo delle frazioni di , considerato come un -modulo, e dove è il -modulo coniugato di ; come gruppo abeliano, è identico a , ma la trasformazione coprente agisce per .Il polinomio di Alexander è uguale a 1 o -1 per .
Ciò esprime il fatto che il complemento del nodo è omologo ad un cerchio, generato dalla trasformazione di copertura t . Più in generale, se è una varietà di dimensione 3 tale che , ha un polinomio di Alexander definito come ideale del suo recupero, e quindi è uguale all'ordine del sottogruppo di torsione di .Viceversa, qualsiasi polinomio di Laurent (con coefficienti interi), simmetrico e uguale a 1 è il polinomio di Alexander di un certo nodo ( Kawauchi 1996 ).
Poiché l'ideale di Alexander è principale, se e solo se il sottogruppo di interruttori del gruppo di nodi (il gruppo fondamentale del complemento del nodo in R 3 ) è perfetto (uguale al proprio sottogruppo di interruttori). Questo è ovviamente in particolare il caso del nodo banale (il cerchio), ma questo risultato mostra che il calcolo del polinomio di Alexander non è sufficiente per dimostrare che un nodo è banale in generale.
Per un nodo topologicamente confinante , cioè un nodo nella 3-sfera che confina con un disco immerso così localmente piatto nella 4-sfera, il polinomio di Alexander soddisfa la condizione di Fox-Milnor , dove è un altro polinomio di Laurent (a coefficienti interi ).
Michael Freedman ha dimostrato che se il polinomio di Alexander di un nodo è banale, questo nodo è topologicamente confinante ( Freedman e Quinn 1990 ).
Il grado del polinomio di Alexander è minore o uguale al doppio del genere del nodo .
Esistono altre relazioni con le superfici e la topologia (differenziale) in dimensione 4. Ad esempio, sotto certi presupposti, esiste un modo per modificare una varietà differenziale di dimensione 4 mediante un intervento chirurgico consistente nel rimuovere un intorno d'a torus ( bidimensionale) e sostituirlo con il prodotto del complemento di un nodo e S 1 . Il risultato è una varietà omeomorfa alla varietà iniziale, ma l' invariante Seiberg-Witten (in) è stato moltiplicato per il polinomio di Alexander del nodo.
Il fatto che un nodo abbia simmetria si riflette generalmente in particolari proprietà del suo polinomio di Alexander. Tuttavia, ciò non consente di rilevarli tutti; questo è il caso della forte invertibilità.
Se il complemento del nodo è un fibrato a base circolare, possiamo dimostrare che il polinomio di Alexander è unitario . Infatti, se è un fibrato, dove è il complemento del nodo; nota la monodromia . Allora , dov'è la mappa indotta sulle classi di omologia.
Se un nodo è un nodo satellite (in) compagno , vale a dire se c'è un tuffo come , dove è un toro solido non forgiato, allora dove è l'intero che rappresenta relativo in .
Ad esempio, per una somma connessa , . Se è un doppio Whitehead privo di torsione, allora .
Alexander aveva dimostrato che il polinomio di Alexander soddisfa una relazione matassa. Questo è stato riscoperto da John Conway in una forma diversa, dimostrando che questa relazione, e un'opportuna scelta di valori sulla trasformata (slegata) è sufficiente per determinare il polinomio. Il risultato della versione di Conway è un polinomio a coefficienti interi z , denotato e chiamato polinomio di Alexander-Conway .
Sia L un diagramma orientato di un nodo; notare i diagrammi risultanti da un cambiamento limitato a una piccola regione intorno a una specifica intersezione, come mostrato in figura.
La matassa delle relazioni ( relazioni matassa ) Conway sono:
La relazione con il polinomio standard di Alexander è data da . Qui, deve essere opportunamente normalizzato (mediante moltiplicazione per ) per soddisfare la relazione matassa . Nota che questa relazione fornisce un polinomio di Laurent a t 1/2 .
Poco dopo che Conway ha mostrato queste relazioni, ci si è resi conto che una relazione simile era stata descritta da Alexander nel suo post originale.