F4 (matematica)
In matematica , F 4 è un eccezionale gruppo di Lie di tipo complesso. Si nota la sua algebra di Lie . F 4 ha rango 4 e dimensione 52. La sua forma compatta è semplicemente connessa e il suo gruppo di automorfismi è il gruppo banale . La sua rappresentazione fondamentale è di dimensione 26.
f4{\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4}}
L'attuale forma compatta di F 4 è il gruppo isometrico una varietà Riemanniana di dimensione 16, nota anche sotto il nome di piano proiettivo octonionique , OP 2 , o piano di Cayley (in) . Lo si può vedere utilizzando la costruzione del quadrato magico (en) , studiata nei minimi dettagli da Hans Freudenthal e Jacques Tits .
Ci sono tre forme reali di questo gruppo, una compatta, una espansa e una terza.
Algebra
(±1,±1,0,0){\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0)}(±1,0,±1,0){\ displaystyle (\ pm 1,0, \ pm 1,0)}(±1,0,0,±1){\ displaystyle (\ pm 1,0,0, \ pm 1)}(0,±1,±1,0){\ displaystyle (0, \ pm 1, \ pm 1,0)}(0,±1,0,±1){\ displaystyle (0, \ pm 1,0, \ pm 1)}(0,0,±1,±1){\ displaystyle (0,0, \ pm 1, \ pm 1)}(±1,0,0,0){\ displaystyle (\ pm 1,0,0,0)}(0,±1,0,0){\ displaystyle (0, \ pm 1,0,0)}(0,0,±1,0){\ displaystyle (0,0, \ pm 1,0)}(0,0,0,±1){\ displaystyle (0,0,0, \ pm 1)}(±12,±12,±12,±12){\ displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}Radici semplici:
(0,0,0,1){\ displaystyle (0,0,0,1)}(0,0,1,-1){\ displaystyle (0,0,1, -1)}(0,1,-1,0){\ displaystyle (0,1, -1,0)}(12,-12,-12,-12){\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}}, - {\ frac {1} {2}}, - {\ frac {1} {2}}, - {\ frac {1} {2 }} \ giusto)}
(2-100-12-200-12-100-12){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \ fine {pmatrix}}}Link esterno
(en) F 4 sul sito The Octonions di John C. Baez , all'UCLA
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