Esempio di Lewy

In matematica , l' esempio di Lewy è un famoso esempio, dovuto ad Hans Lewy , di un'equazione alle derivate parziali lineari che non ammette soluzioni nel senso di distribuzioni , anche se i suoi coefficienti sono molto regolari perché polinomiali .

Questo risultato è da contrapporre da un lato al teorema di Cauchy-Kowalevski che mostra che un'equazione differenziale parziale lineare avente coefficienti e un termine sorgente analitico ammette almeno una soluzione e dall'altro il teorema di Malgrange -Ehrenpreis che afferma che ogni lineare l'equazione alle derivate parziali a coefficienti costanti ammette almeno una soluzione.

L'esempio

Il risultato di Lewy è il seguente:

In , esiste una funzione liscia a valori complessi tale che l'equazione

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {C}}

{\ displaystyle F (t, z)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial {\ bar {z}}}} - iz {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = F (t, z)}

non ammette soluzioni su alcun open.

Si noti che se fosse analitico, il teorema di Cauchy-Kowalevski implicherebbe l'esistenza di una soluzione. $F$

Lewy costruisce una tale funzione utilizzando il seguente output: $F$

In , supponiamo che sia una funzione tale che, in un quartiere dell'origine,

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {C}}

{\ displaystyle u (t, z)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial {\ bar {z}}}} - iz {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = \ phi ^ {\ prime} (t) }

per una determinata funzione di classe . Allora è necessariamente reale analitico in un vicinato (possibilmente più piccolo) dell'origine.

\ phi

{\ mathcal {C}} ^ {1}

\ phi

Sigeru Mizohata (in) in seguito ha dimostrato che l'equazione è ancora più semplice

{\ Displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + ix {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = F (x, y)}

che dipende solo da due variabili reali e talvolta non ha soluzione. È notevole che questa equazione sia una delle più semplici tra le equazioni alle derivate parziali lineari a coefficienti non costanti. $X$ $y$

Riferimenti

Hans Lewy , " Un esempio di equazione alle derivate parziali lineari senza soluzione ", Annals of Mathematics , vol. 66, n o 1,1957, p. 155-158 ( DOI 10.2307 / 1970121 , JSTOR 1970121 , Math Reviews 0088629 , zbMATH 0078.08104 ).
Sigeru Mizohata , " Null solutions and non-analytical solutions ", Journal of Mathematics of Kyoto University , vol. 1, n o 21962, p. 271–302 ( Recensioni di matematica 142873 , zbMATH 0106.29601 , leggi online ).

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " L'esempio di Lewy " ( vedere l'elenco degli autori ) .