In matematica , uno spazio topologico si dice essere generato compatto se è debolmente Hausdorff k- spazio . Questa nozione entra in gioco nella teoria dell'omotopia , nello studio dei complessi CW . Uno spazio X è:
Restringersi a k -spaces serve principalmente per ottenere una sottocategoria di quella degli spazi topologici che è cartesiana chiusa .
Si mostra che X è debolmente Hausdorff, o T 2 , se e solo se la sua diagonale è chiusa in modo compatto in X × X , che è una condizione più debole della solita separazione di Hausdorff , o T 2 , per la quale la diagonale deve essere chiusa . Più precisamente, la proprietà t 2 si trova, nella gerarchia degli assiomi di separazione , tra la separazione T 1 e la separazione KC, o T ' 2 . Uno spazio KC è uno spazio in cui quasi tutto è chiuso. In uno spazio debolmente Hausdorff, chiediamo solo che le immagini continue dei compatti siano chiuse. Ma vengono poi automaticamente separati e quindi compatti , e ne consegue
in uno spazio X compatto generato, parte del quale è chiusa non appena sua intersezione con qualsiasi compatto K di X è chiuso in K .Possiamo facilmente dedurre che X è KC. Quindi, per uno spazio k , queste due nozioni molto vicine di separazione (debolmente Hausdorff e KC) sono di fatto equivalenti.
Un vantaggio di questa ipotesi di separazione è che permette una riformulazione più semplice della definizione di k -spazi: abbiamo appena visto che uno spazio debolmente di Hausdorff è un k -space se e solo se la sua topologia è coerente con la famiglia delle sue parti compatte . Può essere sostituito da chiusa aperta in questo prodotto: leggermente Hausdorff X è un k -space se e solo se una porzione di X viene aperta non appena sua intersezione con qualsiasi compatto K di X è aperta nel K . Possiamo anche sostituire la famiglia di tutti i compatti di X con qualsiasi sovrapposizione di quasi-compatti.
Uno degli interessi di non imporre una condizione di separazione più forte, come la solita separazione, è preservare la stabilità dei colimiti : il quoziente di uno spazio k separato da uno chiuso non può essere separato.
Gli spazi k sono esattamente i quozienti degli spazi localmente compatti , in particolare ogni spazio localmente compatto (separato per definizione) viene generato in modo compatto.
Qualsiasi spazio metrizzabile viene generato in modo compatto. Più in generale, qualsiasi spazio sequenziale è uno spazio k e se ha un limite sequenziale univoco, allora è debolmente Hausdorff .
Qualsiasi CW complesso viene generato e separato in modo compatto.
Qualsiasi spazio X può essere dotato di una nuova topologia definita come: chiuso questo nuovo spazio, denotato kX , sono per definizione chiusa parti compatto di X . La topologia di kX è quindi più fine di quella di X, ma le mappe continue di un compatto in X o kX sono le stesse, quindi kX è un k- spazio. Più in generale, qualsiasi mappa continua di uno spazio k Y in X è continua da Y in kX . In altre parole: il funtore di “ k -ificazione” è aggiunto a destra dell'inclusione della sottocategoria di k -spazi in quella degli spazi topologici; inoltre, se X è debolmente Hausdorff, allora anche kX .
L'inclusione della sottocategoria degli spazi debolmente di Hausdorff, d'altra parte, ammette un assistente di sinistra, che associa a qualsiasi spazio il suo quoziente massimo debolmente di Hausdorff.
Qualsiasi quoziente e qualsiasi unione disgiunta di k -spazi è un k -space, come tutto ciò che è prodotto da un localmente compatto.
Il prodotto esiste nella categoria degli spazi k : è la k -ificazione del prodotto degli spazi topologici, a volte indicato con × k , che lo rende una categoria monoidale . Poiché qualsiasi prodotto di spazi debolmente di Hausdorff è debolmente Hausdorff, anche la sottocategoria degli spazi generati in modo compatto è monoidale.
X è un k -space (e se) solo se ogni applicazione di X in qualsiasi spazio continua su ogni compatto X è continua su X .
Qualsiasi spazio chiuso di uno spazio k è uno spazio k , ma lo spazio Arens-Fort , sebbene sia un sottospazio di un compatto, non è uno spazio k .
Se X e Y sono k -spazi e se CO ( X , Y ) indica lo spazio delle mappe continue da X a Y con la topologia compatta-aperta , la mappa seguente è continua: