Set da club

Nella teoria degli insiemi , una parte di un ordinale limite è chiamata club (dall'inglese closed unbounded ) se è chiusa per la topologia dell'ordine e non limitata . I club sono importanti oggetti combinatori nella teoria degli insiemi.

Definizioni ed esempi

Un ordinale limite e una parte di . Diciamo che fa parte di un club , o ancora è un club , o è semplicemente un club se non c'è ambiguità, se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: $\alfa$ $VS$ $\alfa$ $VS$ $\alfa$ $\alfa$

$VS$ è chiuso per la topologia dell'ordine su , cioè per tutto , se , allora . In altre parole: se possiamo avvicinarci dal basso a un ordinale per elementi di , allora è in . $\alfa$ ${\ displaystyle \ beta <\ alpha}$ ${\ displaystyle sup (C \ cap \ beta) = \ beta}$ ${\ displaystyle \ beta \ in C}$ $\beta$ $VS$ $\beta$ $VS$
$VS$ è illimitato, cioè per tutto , esiste tale che . ${\ displaystyle \ beta <\ alpha}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in C}$ ${\ displaystyle \ beta <\ gamma}$

Ecco alcuni esempi :

Se è una funzione normale, vale a dire continuo e rigorosamente aumentando , e se non è di numerabile co - definitività , allora l'insieme dei punti fissi di un club. ${\ Displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}$ $\alfa$ $f$
Se è una funzione normale, la sua immagine è un club. ${\ Displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}$
$\alfa$ è un cardinale limite se e solo se l'insieme dei cardinali rigorosamente inferiore a un club in . $\alfa$ $\alfa$
l'insieme di ordinali limite numerabili è un club in . $\ omega _ {1}$

Possiamo definire allo stesso modo essere un club per una classe di persone comuni.

Il filtro del club

O ordinale limite cofinalità non numerabile . Se e se è una serie di club, allora possiamo dimostrare che è ancora un club. $\alfa$ $\ lambda$ ${\ displaystyle \ beta <\ lambda}$ ${\ displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ beta}}$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i}}$

In particolare, se è un cardinale regolare , allora tutte le parti che contengono una clava sono un filtro -completo su non primarie , chiamato filtro Club . Questo filtro è chiuso anche dall'intersezione diagonale, cioè, se è una serie di fiori, l'intersezione diagonale è ancora una squadra. $\ kappa$ $\ kappa$ $\ kappa$ $\ kappa$ ${\ displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ kappa}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {i <\ kappa} C_ {i} = \ {\ beta <\ kappa | \ beta \ in \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i} \}}$

Al contrario, un filtro su cui è -completo, non principale e chiuso da intersezione diagonale contiene necessariamente tutte le clavette. $\ kappa$ $\ kappa$

Poiché i set di mazze generano un filtro, possiamo dire informalmente che una parte che contiene una mazza è una parte grande , in analogia con il filtro della misura 1 parti di uno spazio di probabilità . Allo stesso modo, una parte contenuta nel complementare di un club è una piccola parte. Una porzione non piccola , in altre parole una parte la cui intersezione con ogni bastone non è vuota, è chiamata insieme stazionario (in) .

Bibliografia di origine

Jech, Thomas , 2003. Teoria degli insiemi: edizione del terzo millennio, rivista ed ampliata . Springer. ( ISBN 3-540-44085-2 )
Kenneth Kunen , 2011. Teoria degli insiemi . Pubblicazioni universitarie. ( ISBN 978-1-84890-050-9 )