Co-finalità

Considera un insieme A dotato di una relazione binaria ≤. Si dice che un sottoinsieme B di A sia cofinale se:

per ogni elemento a di A, esiste un elemento b di B tale che a ≤ b ; ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b .

La cofinalità dell'insieme A è la cardinalità del più piccolo sottoinsieme cofinale di A.

La cofinalità di un ordinale limite è l'ordinale più piccolo in modo che vi sia una funzione non mappata. Questo ordinale è solitamente annotato o . $\alfa$ $\beta$ $f: \ beta \ rightarrow \ alpha$ ${\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {cf} (\ alpha)}$

Intuitivamente, è il numero minimo di passaggi da eseguire per arrivare alla fine . ${\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ $\alfa$

Ad esempio, possiamo andare alla fine di in passaggi, con la funzione identità, ma non possiamo andare alla fine di in un numero finito di passaggi. Quindi abbiamo . $\ aleph_0$ $\ aleph_0$ $\ aleph_0$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {0}) = \ aleph _ {0}}$

Un cardinale che è uguale alla sua cofinalità, come qui , è chiamato cardinale regolare . $\ aleph_0$

Allo stesso modo, siamo in grado di andare dopo in esso, ma non possiamo farlo in un certo numero di passi numerabile. Quindi abbiamo ; che è quindi anche cardinale regolare. $\ aleph _ {1}$ $\ aleph _ {1}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}$

D'altra parte, possiamo andare alla fine per passaggi, con la funzione definita da , quindi . $\ aleph _ {\ omega}$ $\ aleph_0$ ${\ displaystyle f: \ aleph _ {0} \ rightarrow \ aleph _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle f (n) = \ aleph _ {n}}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {\ omega}) = \ aleph _ {0}}$

Un cardinale che non è regolare, cioè che non è uguale alla sua cofinalità, come qui viene chiamato cardinale singolare . $\ aleph _ {\ omega}$

Proprietà

Per qualsiasi ordinale limite , abbiamo le seguenti proprietà: $\alfa$

${\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ esistere;
${\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ è un cardinale ;
${\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ è regolare, in altre parole ; ${\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ operatorname {cof} (\ alpha)) = \ operatorname {cof} (\ alpha)}$
Se e allora è limitato; ${\ displaystyle \ mathrm {X} \ subset \ alpha}$ ${\ displaystyle | \ mathrm {X} | <\ operatorname {cof} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {X}}$
se è un ordinale limite, allora ; per esempio ,. $\beta$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ beta}) = \ operatorname {cof} (\ beta)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ aleph _ {1}}) = \ operatorname {cof} (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}$

Per ogni cardinale infinito , abbiamo le seguenti proprietà: $\ kappa$

${\ displaystyle \ kappa <\ kappa ^ {\ operatorname {cof} (\ kappa)}}$ , è una conseguenza del teorema di König ;
per ogni cardinale , ; per e , otteniamo , quindi abbiamo in particolare ; anche questa è una conseguenza del teorema di König. $\ lambda$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ lambda ^ {\ kappa})> \ kappa}$ ${\ displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (2 ^ {\ aleph _ {0}})> \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ neq \ aleph _ {\ omega}}$

La cofinalità dei cardinali permette di evidenziare alcune differenze di comportamento. Ad esempio, rispetto all'esponenziazione cardinale, William B. Easton (in) ha sostanzialmente dimostrato che, per i cardinali regolari, gli unici vincoli dimostrabili nella funzione sono e . Per i cardinali singolari, la situazione è diversa. In particolare, Jack Silver (in) ha dimostrato che se è singolare e di innumerevoli co-finalità, e se per tutto , allora . ${\ displaystyle \ mathrm {ZFC}}$ ${\ displaystyle f (\ kappa) = 2 ^ {\ kappa}}$ ${\ Displaystyle \ kappa \ leq \ lambda \ Rightarrow f (\ kappa) \ leq f (\ lambda)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (f (\ kappa))> \ kappa}$ $\ kappa$ ${\ displaystyle \ lambda <\ kappa}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ lambda} = \ lambda ^ {+}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+}}$

Generalizzazioni

Possiamo generalizzare la nozione di cofinalità a qualsiasi insieme preordinato : se è un insieme preordinato, la cofinalità di è il cardinale più piccolo di una parte cofinale in , cioè tale che per tutto ciò che esiste tale che . ${\ displaystyle (A, \ leq)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathrm {B}}$ $a \ leq b$

Ad esempio, se l'insieme di funzioni di per sé è dotato del preordine definito da se e solo se per qualsiasi numero intero da un certo rango, allora la cofinalità di questo preordine, generalmente nota e chiamata numero dominante ( inglese : numero dominante ) , è un cardinale tra e , ma il suo valore esatto non può essere determinato nel consueto assiomatico della teoria degli insiemi, ZFC . ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ $\omega$ ${\ displaystyle \ leq ^ {*}}$ ${\ displaystyle f \ leq ^ {*} g}$ ${\ Displaystyle f (n) \ leq g (n)}$ $non$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {d}}}$ $\ aleph _ {1}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$

La teoria CPF (in) introdotta da Saharon Shelah , studiando possibili cofinalités di ultraprodotti alcuni di insiemi ordinati. Questo gli ha permesso di dimostrare nuove disuguaglianze sull'esponenziazione cardinale, come ad esempio ,. ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} ^ {\ aleph _ {0}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0}} + \ aleph _ {\ omega _ {4}}}$

Riferimenti

MyiLibrary ( servizio online) , teoria degli insiemi , Springer ( ISBN 978-3-540-44085-7 e 3-540-44085-2 , OCLC 757105116 , leggi online )
(in) William Bigelow Easton, " Powers of regular cardinals " , Annals Of Mathematical Logic , vol. 1, n o 21970, p. 139-178 ( leggi in linea )
(in) Jack Silver, " Sul problema dei cardinali singolari " , Atti del Congresso internazionale dei matematici , vol. 1,1975(265-268)
Shelah Saharon , Cardinale aritmetica , Clarendon Press,1 ° gennaio 2002, 481 p. ( ISBN 978-0-19-853785-4 , OCLC 909512480 , leggi online )