Ellissoide di rivoluzione
In matematica , un ellissoide di rivoluzione o sferoide è una superficie di rivoluzione ottenuta ruotando nello spazio di un'ellisse attorno a uno dei suoi assi . Come ogni ellissoide , è una superficie quadrica , vale a dire è descritta da un'equazione di grado 2 in ciascuna coordinata in un sistema di coordinate cartesiane .
L'espressione a volte può anche designare il volume delimitato da questa superficie, in particolare per descrivere oggetti fisici come la Terra o nuclei atomici .
Un ellissoide di rivoluzione può essere:
- allungato (o oblungo, in inglese : prolate ) se l'asse di rotazione è l'asse principale (l'asse maggiore), che gli conferisce la forma di una palla da rugby ;
- appiattito (in inglese: oblato ) altrimenti (come la superficie della Terra , approssimativamente);
-
sferica , nel caso particolare in cui l'ellisse generatrice è un cerchio.
Proprietà
Parametrizzazione
In un piano di sezione contenente l'asse di rotazione, la traccia dell'ellissoide è un'ellisse parametrizzata in coordinate cilindriche da un angolo al centro θ variabile tra 0 e 2π nella forma:
{r(θ)=qcos(θ)z(θ)=ppeccato(θ){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} r (\ theta) = q \ cos (\ theta) \\ z (\ theta) = p \ sin (\ theta) \ end {array}} \ giusto.}dove p è il raggio polare (lunghezza del semiasse di rotazione) eq il raggio equatoriale.
L'ellissoide di rivoluzione è quindi parametrizzato in coordinate cartesiane in un appropriato sistema di coordinate ortonormali da:
{X(θ,ϕ)=qcos(θ)cos(ϕ)y(θ,ϕ)=qcos(θ)peccato(ϕ)z(θ,ϕ)=ppeccato(θ){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x (\ theta, \ phi) = q \ cos (\ theta) \ cos (\ phi) \\ y (\ theta, \ phi) = q \ cos (\ theta) \ sin (\ phi) \\ z (\ theta, \ phi) = p \ sin (\ theta) \ end {array}} \ right.}
dove l'angolo di rotazione ϕ varia tra 0 e π .
Questa parametrizzazione non è univoca.
Equazione cartesiana
La parametrizzazione proposta sopra fornisce l' equazione cartesiana :
X2q2+y2q2+z2p2=1{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {q ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {q ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {p ^ {2}}} = 1}
il che mostra che l'ellissoide di rivoluzione è una superficie quadrica .
Con queste notazioni, un ellissoide di rivoluzione appare come l'immagine di una sfera di raggio q per affinità di rapporto p / q parallela all'asse di rotazione.
Volume interno
La proprietà precedente permette di dedurre un'espressione del volume interno delimitato da un ellissoide di rivoluzione:
V=43πpq2{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi pq ^ {2}}
dove p è il raggio polare eq il raggio all'equatore.
La zona
L'area di un ellissoide di rivoluzione è data da due diverse formule a seconda che l'asse di rotazione dell'ellisse sia il suo asse maggiore o il suo asse minore. Per risolvere le ambiguità, le notazioni scelte sono le solite notazioni per le ellissi: la mezza lunghezza dell'asse maggiore è indicata con a , quella dell'asse minore è indicata con b , l'eccentricità e è data dalla formula:
e=a2-b2a.{\ displaystyle e = {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a}}.}
- Se a = b , l'area viene calcolata con la seguente formula:A=4πR2,{\ displaystyle A = 4 \ pi R ^ {2},}dove R = a = b .
- Quando l'asse di rotazione è l'asse minore, l'ellissoide viene appiattito, il suo raggio polare è strettamente inferiore al suo raggio equatoriale e l'area è data dalla formula:A=2πa2+πb2eln(1+e1-e).{\ displaystyle A = 2 \ pi a ^ {2} + {\ frac {\ pi b ^ {2}} {e}} \ ln \ left ({\ frac {1 + e} {1-e}} \ giusto).}
- Quando l'asse di rotazione è l'asse maggiore, l'ellissoide è allungato, il suo raggio polare è strettamente maggiore del suo raggio equatoriale e l'area è data dalla formula:A=2πb2+2πabearcsin(e).{\ displaystyle A = 2 \ pi b ^ {2} + {\ frac {2 \ pi ab} {e}} \ arcsin (e).}
L'uso di una delle ultime due formule nel caso in cui a = b porta ad una divisione per zero della forma 0/0 poiché l'eccentricità e è uguale a 0 . Nota che quando e tende a 0 , queste due espressioni tendono a 4π R 2 .
Dimostrazione
L'area è data dalla formula:
A=2∫0π/22πqcos(θ)q2peccato2(θ)+p2cos2(θ)dθ{\ Displaystyle A = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} 2 \ pi q \ cos (\ theta) {\ sqrt {q ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) + p ^ {2} \ cos ^ {2} (\ theta)}} \ mathrm {d} \ theta}
quindi utilizzando il cambio di variabile con ,
u=peccato(θ){\ Displaystyle u = \ sin (\ theta)}du=cos(θ)dθ{\ Displaystyle \ mathrm {d} u = \ cos (\ theta) \ mathrm {d} \ theta}A=4πq∫01q2u2+p2(1-u2) du=4πq∫01(q2-p2)u2+p2 du.{\ Displaystyle A = 4 \ pi q \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {q ^ {2} u ^ {2} + p ^ {2} (1-u ^ {2 })}} \ \ mathrm {d} u = 4 \ pi q \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {(q ^ {2} -p ^ {2}) u ^ { 2} + p ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u.}
La sequenza dei calcoli dipende dal segno della differenza q 2 - p 2 per applicare le formule delle primitive delle funzioni irrazionali .
- Se q > p : con le uguaglianze q = a e p = b , si scrive l'integrale:∫01b2+(a2-b2)u2 du=12a2+b22a2-b2arsinh(a2-b2b){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {b ^ {2} + (a ^ {2} -b ^ {2}) u ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {2}} {2 {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {b}} \ right)}quindi l'area viene riscritta:A=2πa2+2πb2earsinh(a2-b2b).{\ Displaystyle A = 2 \ pi a ^ {2} + {\ frac {2 \ pi b ^ {2}} {e}} \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {a ^ {2 } -b ^ {2}}} {b}} \ right).}Tuttavia, le relazioni tra funzioni iperboliche reciproche ci consentono di scrivere:arsinh(a2-b2b)=artanh(a2-b2ba2-b2b2+1)=artanh(e)=12ln(1+e1-e).{\ Displaystyle \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {b}} \ right) = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {b}} {\ sqrt {{\ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2} }} + 1}}} \ right) = \ operatorname {artanh} (e) = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1 + e} {1-e}} \ giusto).}Quindi l'area è data dalla formula:A=2πa2+πb2eln(1+e1-e).{\ displaystyle A = 2 \ pi a ^ {2} + {\ frac {\ pi b ^ {2}} {e}} \ ln \ left ({\ frac {1 + e} {1-e}} \ giusto).}
- Se q < p : con le uguaglianze p = a e q = b , si scrive l'integrale:∫01a2-(a2-b2)u2 du=12b2+a22a2-b2arcsin(a2-b2a){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {a ^ {2} - (a ^ {2} -b ^ {2}) u ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {b ^ {2}}} + {\ frac {a ^ {2}} {2 {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} \ arcsin \ left ({\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a}} \ right)}quindi l'area viene riscritta:A=2πb2+2πabearcsin(e).{\ displaystyle A = 2 \ pi b ^ {2} + {\ frac {2 \ pi ab} {e}} \ arcsin (e).}
Applicazioni
Diversi esempi di ellissoidi di rivoluzione compaiono in fisica . Ad esempio, una massa fluida soggetta alla propria attrazione gravitazionale e ruotando su se stessa forma un ellissoide appiattito. Un altro esempio è dato dalla deformazione della Terra e soprattutto del livello degli oceani in un ellissoide allungato sotto l'azione di un campo gravitazionale esterno, dando origine al fenomeno delle maree .
Link esterno
Ellissoide di rivoluzione su MathCurve
Note e riferimenti
-
La variabile e , generalmente usata per rappresentare un'eccentricità, non ha relazione con la costante e degli esponenziali .
Bibliografia
- (en) S. Chandrasekhar , " Figure ellissoidali di equilibrio: un racconto storico " , Comm. Pure Appl. Matematica. , vol. 20,1967, p. 251-265 ( DOI 10.1002 / cpa.3160200203 , leggi in linea )
- (it) S. Chandrasekhar, " L'equilibrio e la stabilità degli ellissoidi di Dedekind " , Astrophys. J. , vol. 141,1965, p. 1043-1054 ( leggi in linea )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">