Disegno del bambino (matematica)

In matematica , i disegni dei bambini , come sono stati introdotti da Alexandre Grothendieck nel suo programma Esquisse d'un , sono oggetti combinatori che consentono di enumerare in modo semplice ed elegante le classi di isomorfismo dei rivestimenti étale della linea proiettiva priva di tre punti . Poiché il gruppo assoluto di Galois opera naturalmente su tali rivestimenti, l'obiettivo della teoria del disegno per bambini è tradurre questa azione in termini combinatori. GQ=Gal(Q¯/Q){\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}} = {\ mbox {Gal}} ({\ bar {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q})}

Combinatorio

Il disegno di un bambino è un grafico astratto connesso con due strutture aggiuntive:

• Una struttura bipartita sulle sue sommità, ad es. una distinzione tra vertici bianchi e neri in modo che le estremità di un bordo non abbiano mai lo stesso colore;
• Un ordine ciclico degli spigoli intersecanti allo stesso vertice.

La prima di queste due condizioni implica, ad esempio, che il grafo non abbia un loop (bordo avente le due estremità che coincidono). L'ordine ciclico è cruciale nella definizione; a titolo di esempio, gli ultimi due disegni a destra della figura 1 sono distinti pur corrispondenti allo stesso grafico astratto.

Il grado di disegno di un bambino è il numero di bordi che lo compongono. La valenza di un vertice è il numero di archi a cui appartiene. Il grado è quindi uguale alla somma delle valenze dei vertici bianchi (o alla somma delle valenze dei vertici neri). Esiste un numero finito di disegni di bambini di grado fisso.

Topologia

Sia la sfera privata di tre punti e . Fissato un punto base di , il gruppo topologico fondamentale è libero , generato da due elementi. Più precisamente, i merletti semplici e intorno e costituiscono generatori canonici di , il merletto intorno essendo ottenuto dalla relazione . Ricordiamo che esiste una corrispondenza tra l'insieme di classi di isomorfismo di rivestimenti topologici (finito) di e classe combinazione di sottogruppi di indice finito . S{\ displaystyle S}P1,P2{\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}P3{\ displaystyle P_ {3}}b{\ displaystyle b}S{\ displaystyle S}π1top=π1top(S,b){\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top} = \ pi _ {1} ^ {top} (S, b)}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}P1{\ displaystyle P_ {1}}P2{\ displaystyle P_ {2}}π1top{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top}} z{\ displaystyle z}P3{\ displaystyle P_ {3}}Xyz=1{\ displaystyle xyz = 1}S{\ displaystyle S}π1top{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top}}

Dato il disegno di un bambino, è ora possibile definire un'azione a destra di su tutti i suoi bordi: il generatore (risp. ) Invia un bordo sul primo bordo ottenuto ruotando in senso antiorario attorno alla parte superiore nera (risp. Bianca ) di . Questa azione, illustrata nella Figura 3, è chiamata azione monodromica ; è transitivo , perché si presume che il grafo sottostante il disegno del bambino sia connesso. In particolare, gli stabilizzatori di bordo sono sottogruppi coniugati di con indice pari al grado di disegno del bambino. Il disegno di un bambino è quindi associato a una classe di coniugazione di sottogruppi di . Viceversa, data una tale classe di coniugazione , è possibile associarvi il disegno di un bambino: i suoi bordi sono per definizione gli elementi dell'insieme di classi a destra di un rappresentante di . La giusta moltiplicazione per un elemento di definisce un'azione su e due bordi hanno in comune un vertice nero (risp. Bianco) se e solo se appartengono alla stessa orbita sotto l'azione del sottogruppo di generato da (risp. Da ). È facile verificare che queste costruzioni siano l'una opposta all'altra. In breve, otteniamo la proposta / costruzione. Esiste una biiezione tra l'insieme dei disegni dei bambini e l'insieme delle classi isomorfe dei rivestimenti topologici finiti della sfera privata dei tre punti.π1top{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top}}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}e{\ displaystyle e}e{\ displaystyle e}π1top{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top}}π1top{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top}}VS{\ displaystyle C}Γ=π1top/H{\ displaystyle \ Gamma = \ pi _ {1} ^ {top} / H}H{\ displaystyle H}VS{\ displaystyle C}π1top{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top}}Γ{\ displaystyle \ Gamma}π1top{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top}}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}

Il paragrafo seguente offre una descrizione più visiva e intuitiva di questa corrispondenza.

Riemann affiora

È possibile dotare la superficie topologica introdotta nel paragrafo precedente con una struttura superficiale di Riemann , unica fino all'isomorfismo : essa è infatti isomorfa alla sfera di Riemann priva di tre punti, che possiamo supporre essere e . Ne consegue che se si tratta di un rivestimento topologico, esiste una struttura superficiale di Riemann , unica fino all'isomorfismo, come induce una copertura di superfici di Riemann. La superficie di Riemann ha una compattificazione unica e il morfismo si estende in modo univoco in un rivestimento della sfera di Riemann ramificata in modo univoco sopra i punti e . Tale rivestimento è chiamato applicazione Belyi e la coppia è una coppia Belyi. S{\ displaystyle S}0,1{\ displaystyle 0,1}∞{\ displaystyle \ infty}f:Y→S{\ displaystyle f: Y \ to S}Y{\ displaystyle Y}f{\ displaystyle f}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}f{\ displaystyle f}VS^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}}}0,1{\ displaystyle 0,1}∞{\ displaystyle \ infty}(X,f){\ displaystyle (X, f)}

Ora è un'applicazione di Belyi. Il disegno del bambino corrispondente può essere realizzato concretamente considerando la preimmagine tramite l'intervallo unitario . In primo luogo, è un complesso simpliciale di dimensione cioè un grafico. L'ordine ciclico sugli spigoli intersecanti allo stesso vertice è indotto dall'orientamento della superficie di Riemann . I vertici neri (rispettivamente bianchi) sono gli elementi della fibra (risp. ). La loro valenza non è altro che l'indice di ramificazione del punto corrispondente. Il complemento di è un'unione disgiunta di domini, isomorfa ai dischi (come emerge da Riemann); questi sono i volti del disegno del bambino. Nel contesto delle superfici di Riemann, la proposizione della sezione precedente può quindi essere riformulata come segue: f:X→VS^{\ displaystyle f: X \ to {\ hat {\ mathbb {C}}}}Γ⊂X{\ displaystyle \ Gamma \ subset X}f{\ displaystyle f}[0,1]⊂VS^{\ displaystyle [0,1] \ subset {\ hat {\ mathbb {C}}}}Γ{\ displaystyle \ Gamma}1{\ displaystyle 1}X{\ displaystyle X}f-1(0){\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}f-1(1){\ displaystyle f ^ {- 1} (1)}Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Proposta. Esiste una biiezione tra l'insieme dei disegni dei bambini e l'insieme delle classi isomorfiche delle applicazioni di Belyi.

Curve algebriche

Il teorema di esistenza di Riemann, e più in generale i teoremi di algebrizzazione di GAGA, affermano che qualsiasi copertura finita della sfera di Riemann si realizza analizzando una copertura della retta proiettiva . In particolare se è una coppia Belyi (cfr. Paragrafo precedente), possiamo supporre che sia una curva algebrica ( proiettiva , liscia ) definita su . Possiamo quindi parlare delle equazioni del disegno di un bambino: sono quelle che definiscono la curva da un lato e quelle che definiscono il rivestimento dall'altro. È importante notare che queste equazioni non sono uniche. È abbastanza facile ottenere le equazioni dei disegni dei bambini con un grado relativamente piccolo, ma il caso generale risulta essere molto più difficile. La figura 4 fornisce l'elenco delle equazioni per i disegni di laurea dei bambini . (X,f){\ displaystyle (X, f)}X{\ displaystyle X}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}X{\ displaystyle X}f{\ displaystyle f}3{\ displaystyle 3}

Azione di Galois

Viene spontaneo chiedersi quali curve siano realizzate come coperture della linea proiettiva non ramificata al di fuori di tre punti. La risposta è fornita dal famoso teorema di Belyi, che può essere considerato una standardizzazione aritmetica per le curve algebriche  :

Teorema (Belyi). Sia una curva proiettiva liscia definita su . Le seguenti condizioni sono equivalenti:X{\ displaystyle X}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

- C'è un'applicazione di Belyi ,X→PVS1{\ Displaystyle X \ to \ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}} - La curva può essere definita su (cioè esiste una curva definita su tale che la curva ottenuta per estensione degli scalari da a sia isomorfa a ).X{\ displaystyle X}Q¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {Q}}}}Y{\ displaystyle Y}Q¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {Q}}}}YVS{\ displaystyle Y _ {\ mathbb {C}}}Q¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {Q}}}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}X{\ displaystyle X}

Questo risultato afferma che il disegno di qualsiasi bambino ha equazioni i cui coefficienti sono numeri algebrici. Inoltre, possiamo mostrare che se due mappe Belyi definite su sono isomorfe su , allora sono già isomorfe su . È quindi possibile definire un'azione del gruppo assoluto di Galois sui disegni dei bambini: fissiamo una mappa Belyi definita associata al disegno di un bambino . Per qualsiasi elemento , il rivestimento ottenuto agendo sui coefficienti di definizione è un'altra applicazione di Belyi. Il corrispondente, noto disegno per bambini è chiamato il coniugato di Galois di . Uno degli obiettivi della Teoria del disegno per bambini di Grothendieck è descrivere questa azione in termini combinatori. Q¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {Q}}}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}Q¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {Q}}}}f:X→P1{\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {P} ^ {1}}Q¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {Q}}}}D{\ displaystyle D}σ∈Gal(Q¯/Q){\ displaystyle \ sigma \ in {\ mbox {Gal}} ({\ bar {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q})}σf:σX→P1{\ displaystyle ^ {\ sigma} \! f: \, ^ {\ sigma} \! X \ to \ mathbb {P} ^ {1}}σ{\ displaystyle \ sigma}f{\ displaystyle f}σD{\ displaystyle ^ {\ sigma} D}D{\ displaystyle D}

Note e riferimenti

Vedi anche

Bibliografia

• Belyĭ, GV, Galois estensioni di un campo ciclotomico massimo. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat . 43 (1979), n. 2, 267–276.
• Grothendieck, A., Schema di un programma. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 242 , Geometric Galois actions, 1, 5–48, Cambridge Univ. Stampa, Cambridge, 1997 .
• Serre, J.-P., Geometria algebrica e geometria analitica. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 6 (1955-1956), 1–42.

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