In matematica , e più precisamente nella geometria algebrica , una curva algebrica è una varietà algebrica (o uno schema di tipo finito ) su un campo, le cui componenti irriducibili sono di dimensione 1. Questa definizione è la moderna generalizzazione di quella delle curve algebriche classiche , come come coniche , definite, nel caso di curve piane, come l'insieme dei punti di soluzione di un'equazione polinomiale.
Nella sua forma più generale, una curva algebrica su un campo è una varietà algebrica di dimensione 1 su , separata per evitare patologie. Considerando le componenti irriducibili fornite con la struttura ridotta, torniamo alle curve integrali. Con la compattificazione e la normalizzazione, torniamo a curve proiettive regolari, che è la situazione più comunemente affrontata. A parte le varietà algebriche di dimensione 0 che si riducono ad algebre finite su un campo, le curve sono le prime varietà algebriche non banali.
Chiamiamo curva razionale , o anche curva unicursale , qualsiasi curva birazionalmente equivalente a una linea (proiettiva), che possiamo identificare con il campo delle frazioni razionali con un indeterminato, k ( x ). Se k è algebricamente chiuso, è equivalente ad essere una curva di genere zero; tuttavia, il campo R ( x , y ) con x 2 + y 2 = −1 è una curva di genere zero che non è un campo di funzioni razionali.
In concreto, una curva razionale di dimensione n su k può essere parametrizzata (salvo punti isolati eccezionali) mediante n funzioni razionali definite mediante un unico parametro t ; moltiplicando per i denominatori comuni, riduciamo a n +1 funzioni polinomiali in uno spazio proiettivo.
I primi esempi sono:
Qualsiasi sezione conica definita su k e avente un punto razionale in k è una curva unicursale, che può essere parametrizzata determinando l'altra intersezione della curva con una retta di pendenza t passante per il punto razionale, dando un polinomio di grado da 2 a k -rational coefficienti aventi un k -rational radice ; anche l'altra radice è quindi razionale.
Considera ad esempio l'ellisse x 2 + xy + y 2 = 1, per la quale (−1, 0) è un punto razionale. La retta della pendenza t passante per (−1, 0) ha l'equazione y = t ( x + 1). Sostituendo e risolvendo in x , otteniamo
, e quindi ;questa parametrizzazione razionale mostra che l'ellisse è una curva unicursale. Si ottengono così tutti i punti dell'ellisse, tranne il punto (−1, 1), che corrisponde a t = ∞ ; l'intera curva è quindi parametrizzata dalla retta proiettiva reale (o, più in generale, da k completata da un punto all'infinito; se ci collochiamo nel caso complesso, è una parametrizzazione della sfera di Riemann ).
Queste parametrizzazioni consentono di risolvere equazioni diofantine omogenee. Quindi, dalle equazioni precedenti, otteniamo
e questi numeri verificano
;X , Y e Z sono numeri interi se t è intero e l'impostazione precedente mostra che non ci sono altre soluzioni intere. Quindi, applicando il teorema di Al-Kashi , costruiamo tutti i triangoli con lati interi di cui uno degli angoli è 60 °, come il triangolo dei lati 3, 7 e 8 (ottenuto prendendo t = 2) da 8 2 - 3 × 8 + 3 2 = 7 2 .
Molte altre curve classiche sono unicursali; è il caso del folium di Cartesio , del deltoide o delle curve di Lissajous ; ecco un elenco più completo .
Una curva ellittica può essere definita come una curva algebrica di genere 1 avente un punto razionale: hanno tutte le cubiche non singolari come modello comune . In questo caso, spesso prendiamo come punto razionale un punto di flesso all'infinito; ciò equivale a scrivere la curva sotto forma di Tate-Weierstrass, la cui versione proiettiva è
Le curve ellittiche sono dotate di una struttura di gruppo abeliana , il punto distinto è l'elemento neutro del gruppo; nel modello cubico, tre punti sono somma zero (per la legge di gruppo) se e solo se sono allineati. Per le curve ellittiche definite nel piano complesso, il gruppo è isomorfo al quoziente del gruppo additivo di complessi dal reticolo dei periodi fondamentali della corrispondente funzione ellittica .
Le curve di genere maggiori di 1 sono qualitativamente diverse dalle precedenti. Definiti su numeri razionali , il teorema di Faltings mostra che possono avere solo un numero finito di punti razionali; possono essere dotati di una struttura iperbolica . Esempi importanti sono le curve iperellittiche , la curva di Klein quartica e la curva di Fermat (in) con .
In tutto ciò che segue, tranne nell'ultima sezione, ci collocheremo nel quadro di curve proiettive irriducibili e lisce su un corpo . Sappiamo che questo implica che sia regolare . Per semplicità, assumiamo inoltre che ( resta quindi irriducibile sulla chiusura algebrica di ).
Per ogni curva (proiettiva regolare e irriducibile), il suo campo di funzioni razionali è un campo di funzioni di una variabile.
Se è un morfismo tra due curve (proiettive regolari irriducibili), è costante o dominante . In quest'ultimo caso, induce un morfismo dei campi di funzioni razionali che rende un'estensione finita di
Si ottiene così un funtore dalla categoria delle curve proiettive regolari irriducibili, i cui morfismi sono i morfismi non costanti di -schemi, alla categoria dei campi di funzioni di una variabile, i cui morfismi sono i morfismi di -estensioni.
In concreto, ciò significa che i dati di una curva sono equivalenti ai dati del suo campo di funzioni, e che i dati di morfismi non costanti sono equivalenti ai dati di estensioni finite di campi di funzioni.
Nota : se non è perfetto, esistono campi di funzioni di una variabile che non sono campi di funzioni razionali di curve proiettive lisce irriducibili. Se invece è perfetto, non c'è distinzione tra regolare e liscio.
Definizione . Vale a dire : un morfismo non costante. Chiamiamo grado del grado della corrispondente estensione del corpo . Un morfismo è di grado 1 se e solo se è un isomorfismo.
Un divisore su è una somma finita (formale) con coefficienti interi, indicizzata da punti (chiusi) di . La sono tutte nulle tranne per un numero finito di essi. Si nota anche il coefficiente . È la valutazione di in . L'insieme dei divisori formano un gruppo abeliano libero avente una base costituita da classi , . Un divisore si dice efficace se i coefficienti coinvolti sono tutti positivi o nulli.
Definiamo il grado di by
dove è il campo residuo a , estensione finita per il teorema zero di Hilbert . La mappa dei gradi è un morfismo di gruppi . Il nucleo di questo morfismo è quindi un gruppo.
C'è un tipo particolarmente importante di divisori, i divisori principali . Questi sono i divisori associati a funzioni razionali diverse da zero . Per definizione, dov'è l'ordine di cancellazione di in se è regolare in , ed è l'opposto del suo ordine di polo altrimenti.
Mostriamo che ogni divisore principale è di grado . L'insieme dei principali divisori forma un sottogruppo del gruppo . Viene iniettato il quoziente di per i principali divisori , dove è lo Jacobiano di . È un isomorfismo se è chiuso algebricamente o se ha un punto razionale .
Diciamo che due divisori su sono linearmente equivalenti se differiscono per un divisore principale.
Se è un divisore, gli associamo un fascio invertibile su come segue: per ogni affine aperto di , è uguale all'unione di 0 con l'insieme delle funzioni razionali non nulle soddisfacenti per tutti .
Al contrario, qualsiasi raggio invertibile è isomorfo a uno , essendo unico fino all'equivalenza lineare.
Il teorema di Riemann-Roch fornisce una stima della dimensione dello spazio delle funzioni razionali con poli controllati da un dato divisore. Questo è un risultato fondamentale nello studio delle curve algebriche. Concretamente, ci diamo punti a , e li assegna intero coefficienti . Sia il divisore la somma di . Allora è per definizione zero l'insieme delle funzioni razionali o che soddisfa la disuguaglianza per tutti (più sinteticamente :) . È uno spazio vettoriale sul campo base , di dimensione finita che indichiamo . Abbiamo le seguenti proprietà:
Definizione Una curva iperellittica è una curva di genere almeno 2, il cui corpo di funzione è un'estensione (necessariamente separabile) di grado 2 del campo delle frazioni razionali . Ciò equivale quindi a dire che ammette un morfismo di versi di secondo grado . Si noti tuttavia che alcuni autori chiamano più generalmente curve iperellittiche quelle che ammettono un tale morfismo definito sulla chiusura algebrica di .
Esempi
Un primo invariante per distinguere tra curve algebriche è il genere, che, ricordiamolo, è la dimensione dello spazio vettoriale delle forme differenziali sulla curva. È quindi un numero intero positivo o zero.
Uno spazio modulo è una varietà algebrica o più in generale un diagramma i cui punti corrispondono a una classe di oggetti provenienti dalla geometria algebrica. Si dice che uno spazio modulo vada bene quando rappresenta un funtore della categoria delle varietà algebriche nella categoria degli insiemi.
Sistemiamo il corpo di base e un genere . Possiamo considerare l'insieme delle classi isomorfe delle curve di genere su . Mostriamo che esiste una varietà algebrica integrale, normale e quasi proiettiva su tale che esiste una mappa naturale (naturale significa una compatibilità con le estensioni dei campi base), che è una biiezione su un campo algebricamente chiuso. Questo collettore è chiamato lo spazio del modulo delle curve di genere . È di dimensione 0 se , di dimensione 1 (e anche isomorfa alla linea affine) se (su un campo algebricamente chiuso, qualsiasi curva di genere 1 è una curva ellittica, e la sua classe di isomorfismo è determinata dall'invariante modulare ). In natura almeno 2, è di dimensione . Moralmente, i parametri (e le relazioni algebriche) sono sufficienti per descrivere l'insieme delle curve di genere .
Si dice che lo spazio dei moduli sia grossolano perché non rappresenta il funtore delle curve proiettive lisce del genere (il quale funtore è semplicemente non rappresentabile), ma i suoi punti su un campo algebricamente chiuso sono in biiezione con l'insieme e la varietà è in un senso minimo per questa proprietà.
Si noti che a differenza delle superfici topologiche, quanto precede dice che il genere (da 1) non determina assolutamente la curva fino all'isomorfismo.
Qualsiasi automorfismo di si estende in un automorfismo di . Ci limitiamo quindi a curve su un campo algebricamente chiuso.
l'ultima freccia invio di un automorfismo su . Il gruppo è generalmente il gruppo ciclico di ordine 2 e può essere eccezionalmente ciclico di ordine 4 o 6. Se il campo è di caratteristica 2 o 3, questo gruppo può anche essere di ordine 12 o 24.
Più canonicamente:
Mordell-Weil, Mordell
Conteggio punti: ipotesi di Riemann su un campo finito.
Sia X una varietà algebrica integrale di dimensione 1. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti
Se il campo base k è perfetto , queste proprietà sono equivalenti a
Una curva algebrica è proiettiva se e solo se è propria. È corretto se e solo se ogni componente irriducibile è corretto. Una curva irriducibile è propria se e solo se non è affine.
Quindi una curva algebrica integrale è affine o proiettiva.
Se è una curva algebrica separata, allora è quasi proiettiva. Se nessuna delle sue componenti irriducibili è proiettiva, allora è affine.
Una curva può presentare singolarità, se prendiamo la sua normalizzazione , allora è un morfismo finito suriettivo ed è una curva regolare.